工程问题思路指点

    （江西省吉安市古南一小 杨松
      工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问 题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。

     工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，目的是要让同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。

例１. 一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少 天？
    ［思路指点］ ①把这项工程的工作总量看作“１”。甲队修建需要12天，修建１天完成这项工程的 ；乙队修建需要20天，修建１天完成这项工程的 。甲、乙两队共同修建１天，完成这项工程 的 ＋ ＝ ，工作总量“１”中包含了多少个 ，就是两队共同修建完成这项工 程所需要的天数。

 １÷（ ＋ ）＝１÷ ＝ （天）

②设这项工程的全部工作量为60（12和２0的最小公倍数），甲队一天的工作量为６0÷１2＝５， 乙队一天的工作量为６0÷２0＝３，甲、乙两队合建一天的工作量为５＋３＝８。用工作总量除以两队合建 一天的工作量，就是两队合建的天数。

 ６0÷（６0÷１2＋６0÷２0）＝６0÷（５＋３）

    ＝６0÷８＝ （天）

评点  这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法，前者比较简便。这种解法把工作量看作“１”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。

练习：一段公路，甲队单独修要１0天完成，乙队单独修要１2天完成，丙队单独修要１5天完成，甲、 乙、丙三队合修，需要几天完成？

 例２ 一项工程，甲队独做８天完成，乙队独做１0天完成，两队合做，多少天完成全部工程的 ？

 ［思路指点］ ①把这项工程的工作总量看作“１”，甲队独做８天完成，一天完成这项工程的 ； 乙队独做１0天完成，一天完成这项工程的 。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的 ＋ ＝ ，工作总量“１”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间的 ，就是甲乙合做完成全部工程的 所需的时间。

  １÷（ ＋ ）× ＝１÷ × ＝ （天）

  ②把甲、乙两队合做的工作量 ，除以甲、乙两队的效率之和 ＋ ＝ ，就是甲乙合做完成全部工程的 所需要的时间。

    ÷（ ＋ ）＝ ÷ ＝ （天）

 评点 思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完成全部工程的 所需的时间。思路②是把“ ”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求出完成全部工程的 所需的 时间。两种思路简捷、清晰，都是很好的解法。

练习：一项工程，单独完成，甲队需８天，乙队需１2天。两队合干了一段时间后，还剩这项工程的 没完成。问甲、乙两队合干了几天？

例３  东西两镇，甲从东镇出发，２小时行全程的 ，乙队从西镇出发，２小时行了全程的 。 两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？

［思路指点］ ①由甲２小时行全程的 。可知甲行完全程要２÷ ＝６（小时）；由乙２小时 行全程的 ，可知乙行完全程要２÷ ＝４（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“１”，除以速度之和，就可求出两人同时出发相向而行的相遇时间。

 综合算式：
    １÷（ ＋ ）

＝１÷（ ＋ ）＝１÷ ＝ （小时）

②由甲２小时行了全程的 ，可知甲每小时行全程的 ÷２＝ ；由乙２小时行全程的 ，可知乙每小时行全程的 ÷２＝ 。把东西两镇的路程“１”，除以甲、乙的速度之和，就可得到两人同时出发相向而行的相遇时间。

 综合算式：

１÷（ ÷２＋ ÷２）

 ＝１÷（ ＋ ）＝１÷ ＝ （小时）

评点 本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度，是解题的关键所在。

练习：打印一份稿件，小张５小时可以打完份稿件的 ，小李３小时可以打完这份稿件的 ，如果两人合打多少小时完成？

例４ 一项工程，甲、乙合做６天可以完成。甲独做１8天可以完成，乙独做多少天可以完成？
    ［思路指点］ 把一项工程的工作总量看作“１”，甲、乙合做６天可以完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的 ，甲独做１8天可以完成，甲做一天完成这项工程的 。把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率 ，就可得到乙的工作效率： － ＝ 。工作总量“１”中包含了多少 个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。

    １÷（ － ）＝１÷ ＝９（天）

评点 这是一道较复杂的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及工程问题的数量关系，解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“１”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

 有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：１÷（ ＋ ），这是同学们应引起注意的地方。

练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运送，５小时可以运完。如果用小卡车单独运，１5小时可以运完。问大卡车单独运几小时可以运完？

  例５. 加工一批零件，单独１人做，甲要１0天完成，乙要１5天完成，丙要１2天完成。如果先由甲、乙两人合做５天后，剩下的由丙１人做，还要几天完成？

［思路指点］题目要求剩下的工作量由丙１人做，还要几天完成，必须知道剩下的工作量和丙的工作效 率。

加工一批零件，单独１人做，甲要１0天完成，甲一天加工一批零件的 ；乙要１5天完成，乙一 天加工一批零件的 ；丙要１2天完成，丙一天加工一批零件的 。甲、乙合做一天，完成这批 零件的 ＋ ＝ ，合做５天完成这批零件的 ×５＝ ，工作总量“１”减去甲 、乙合做５天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙１人做还要几天完成。

  综合算式： ［１－（ ＋ ）×５］÷

＝［１－ ×５］÷

＝ ÷ ＝２（天）

评点 这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，也是升学或毕业考试中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“１”中减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的影响 ，容易错误地列成：［１÷（ ＋ ）×５］÷

 　　练习：加工一批零件，甲独做要８天完成，乙独做要７天完成，丙独做要１4天完成，三人合作２天后， 甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完成？

  例６. 一件工程，甲、乙合作６天可以完成。现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？

 　［思路指点］一件工程，甲、乙合作６天可以完成，可知甲、乙合作１天完成这件工程的 ，甲、 乙合作２天，完成这件工程的 ×２＝ 。用工作总量“１”减去甲、乙合作２天的工作量 ， 所得的差１－ ＝ ，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了８天正好做完，用余下的工 作量除以８，就可以求出１天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作总量“１”除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程 所需要的天数了。

  综合算式：    １÷［ －（１－ ×２）÷８］＝１÷［ －（１－ ）÷８］＝１÷［ － ÷８］＝１÷［ － ］＝１÷ ＝１２（天）

 评点 　也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解题的步骤较多，只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路，熟练掌握前面５道例题的解题方法及解题的技能、技巧，才能正确顺利地解答本题。

 　练习：一项工程，甲、乙两队合做９天完成，乙、丙两队合做１2天完成，现在甲、乙两队合做了３天， 接着乙、丙两队又合做了６天，最后由丙队单独12天完成了整个工程。如果整个工程由甲、丙两队合做需要几天完成？