数学教学不仅要让学生获得知识技能，而且要生成智慧和人格。如何让智慧和人格在数学活动中不断地生成？为此，我在思考着、探索着、实践着……
《三角形边的关系》的教材，是这样编写的（北师版四年级上册，如图1）：呈现实验材料，给出实验方法，提出实验目的。编写的意图是显而易见的：让学生在经历实验探究活动，不仅归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，而且在学习科学探究的方法，培养其发现知识的能力。这样编写，给教师的教指出了方向，但学生对“为什么要这四组小棒试搭三角形”、“为什么每次实验都要在表中的圈内填上‘＜’、‘＞’、‘＝’”可能很茫然的。学生探究的过程很有可能成为机械地执行教师的指令，其学习的主动性、发散性思维、批判性思维等都难以得到充分发挥。怎样从学生的实际出发，设计问题，组织教学呢？
我预设了下面三个问题：（1）三角形是由三条线段围成的图形，如果用小棒代替线段，围一个三角形要用几根小棒？（2）任意给出三根小棒，你一定能围成一个三角形吗？（3）怎样的三根小棒一定能围成三角形呢？三角形是由三条线段围成的图形，这是学生已知的，问题（1）易答；问题（2）是问题（1）的逆向问题，命题成立，其逆命题不一定成立（估计学生中会有不同的回答），学生可实验验证各自的猜想，从中发现“两根小棒的和小于第三根时，不能围成三角形”；顺势引入问题（3），引导学生深入探究，并发现“只有当较短两根的和大于第三根时，一定能围成三角形”，由此经验联想到三角形三条边的关系，得出“三角形中较短两边的和大于第三边”。这时，教师再追问：“等边三角形中是没有较短两边的，对于所有的三角形来说，三条边之间到底有着怎样的关系？”激发学生再思考，概括出“三角形任意两边的和大于第三边”。
实际教学中，对“怎样的三根小棒一定能围成三角形”，有的学生认为“当较短两根的和大于或等于第三根时，就一定能围成三角形”；也有的认为“三根一样长的小棒，一定能围成三角形”。教师追问：“三角形就只有三边相等这一种吗？”有学生补充：“两根一样长的，也一定能。”“三根各不相等的，较短两根的和大于第三根，也一定能。”针对学生的回答，教师没有直接指出是否错误，而是将其板书在黑板上，引起全体学生再思考。教师先借助电脑演示，让学生直观地发现“较短两根的和等于第三根时，不能围成三角形”；再引导学生讨论，有的学生认为“当三根小棒一样长时，一定能围成三角形，这已经不用考虑了；有两根一样长时不能肯定，因为万一另一根特别长，那就围不成”。有的觉得“可以把第二、三两种情况合并为‘老二与老三的和大于老大时，也一定能围成三角形’”。此时，教师要学生概括成一句话（即：任意两根小棒的和大于第三根时，一定能围成三角形的），学生哑然。教师指着等边三角形的两条边问：“这两边的和比第三边怎么样？”学生这才发现，任意两根小棒的和大于第三根时，一定能围成一个三角形。
这是上海名师学习研究所让我上的一个课例。有位专家当时说：“潘老师的课最大特点是，不是从教案上起，而是从学生上起，整个教学是围绕学生的问题展开的。”是的。我为自己机智地处理教学中的意外而窃喜，但我更是被意外背后的原因所吸引，我在思考：在有的学生看来，较短两根的和等于第三根时确实是围成了三角形。教师简单地让电脑演示，能取代学生头脑中的想法吗？怎样才能让学生进行自我否定，促使思维发展呢？学生的“三根一样长的一定能围成三角形”的回答应该是完美无缺的，教师一句“只有三边相等这一种三角形吗”的追问，学生会接受吗？有必要追问吗？在教师的追问下，学生补充了另外两种情况，并展开讨论，学生积极主动，气氛相当热烈，不知不觉中用去了一大半的时间，这期间，学生的数学思维得到了哪些锻炼和发展？该如何改进教学，我又一次走进了课堂。
片段1
师：你们知道给每人发两根小棒干什么吗？
生1:因为课题是三角形边的关系，我以为会发三根小棒让我们摆三角形的，可是只发了2根，我就不知道干什么了。
生2：可能是摆角用的。
师：不是用来摆角的，确实是用来摆三角形的。
生3：三角形是有三条边，需要三根小棒，你发两根，我们怎么摆呢？
教师出示：现有两根小棒，一根长3厘米，另一根长5厘米，再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？
师：将你要配的小棒画在纸上，你有几种配法都在纸上画出来。
学生独立思考着，操作着……
出示的课题是《三角形边的关系》，给出的小棒只有两根，而且要摆三角形，学生顿生困惑：用两根怎么能摆成三角形呢？这里，虽然没有复习三角形的概念，但已经激活了学生的已知，刺激了学生的思维，吸引了学生的注意。“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法”，再配一根不难，有几种配法则给有差异的学生以自由探索的空间。
片段2
师：请说出你配上了多长的小棒？
生1：配上6厘米、4厘米、2厘米长的小棒。
生2：我配上7厘米、8厘米、3厘米长的小棒。
生3：我配了一根5厘米长的小棒。
生4：还有1厘米、0.5厘米，还有更小的。
（结合回答，教师顺着线段的长短板书：8、7、6、5、4、3、2、1、0.5）
生5：我要反驳，把5厘米和3厘米的叠在一起，差距还有2厘米，0.5厘米的怎么可能呢！我希望他摆给我看。
生4进行了操作，发现0.5厘米是不能围成三角形的，并解释说：“我刚才没有摆过，我是想象的。”
“有几种不同的配法？”，不仅适合有差异的学生，而且在寻找多种配法的过程中，学生会感知到：不是任意画一根小棒都能围成三角形的，太短了接不上，太长了也接不上。有的学生在小组交流时说：“我发现配上的线段最长不能比两根长度的和来得长，最短不能短于两根线段的差”。学生已经关注到所画线段的长度是有一定的范围的，这是一个怎样的范围呢？学生的思维对象已经从能配几种小棒转向所配小棒长度的取值范围，思维向纵深方向发展。
片段3
师：下面，请前后4人为小组，讨论在上面所配的这些小棒中，哪些是不能围成三角形？要用事实讲道理，看哪组合作得最好！
学生组内讨论后进行组际交流：
生：2厘米到8厘米的都可以。
师：（指着板书）1厘米呢？（学生齐说不可以）我们来试验一下吧！
电脑验证：当三根小棒是5厘米、3厘米和1厘米时，用3厘米和1厘米的小棒放在5厘米小棒的两端，然后慢慢向下围，3厘米和1厘米的小棒与5厘米的重合，两头没有围上，中间相差了1厘米。
师：1厘米不行，1.8厘米呢？1.9厘米？1.99厘米呢？（学生齐说不行。）2厘米呢？（学生思考着。）
师：认为2厘米行的举手？（大部分学生举起了手。）认为不行的举手？（3位学生举了手。）
师：到底听谁的呢？我们来个少数服从多数，好吗？不！这不是选少先队代表。知识是科学，看谁说得有道理。
生1：某某同学你想一下，一根5厘米和一根3厘米，还差2厘米。如果用2厘米的小棒去围，小棒要斜一点，肯定会有一点距离的，所以不能围成三角形。
生2：我刚才是做过实验的，把小棒往里转的话，两根小棒之间的距离会减少一些的，应该是能围成三角形的。
生3：你用的是两根小棒，你可以围起来的，但是，如果是一条线呢，一条很细很细的线呢？
生2：那你是不是认为3厘米加2厘米比5厘米要少呀？
生3：当然不是喽！
生2：那好，3厘米加2厘米等于5厘米，不就可以围成三角形。
生3：3厘米加2厘米等于5厘米，正好跟它平行，不多也不少。
师：3厘米加2厘米等于5厘米，3厘米、2厘米这两根小棒的两头就碰得着了。一个同学说，碰得着了，说明就能围成三角形；另一个同学认为，正好碰头，就平掉了。
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教师结合回答，边画图（右图）边提问，再围下去，它们会碰头吗？碰头的点在哪里？学生观察并想象着，积极地上来标出碰头的点是在5厘米的线段上，终于得出：配上2厘米的线段，正好重叠了，不能围成三角形。
有的学生用2厘米、3厘米和5厘米这三根小棒竟然围成了一个三角形，他们对两根小棒的和等于第三根时也能围成三角形是深信不疑！这显然是小棒较粗引起操作误差所致，但简单地解释又难以使学生信服。为此，教师采用“数形结合”的方式，双管齐下：一方面由“1厘米不行，1.8厘米呢？1.9厘米？1.99厘米呢？ 2厘米呢”，让学生进行数学计算，发现即使配上1.999厘米，其和还是比5厘米短，只有当配上2厘米时的和正好等于5厘米，而这时的2厘米和3厘米成为了一条新的线段；另一方面，借助于图形直观，并让学生进行空间想象：2厘米和3厘米小棒的另一头能碰头吗？碰头点在哪儿？这样，学生不仅对先前的想法进行自我否定，更重要的是学生在学习着用数学的方法分析问题，作出判断，思维更具理性。
片段4
师：还有哪些是不能围成三角形的？
生：8厘米的。同样道理，因为5厘米加3厘米正好等于8厘米，重叠掉了，不能围成三角形。
师：那么，你认为一共有多少种配法？
生：3厘米到7厘米，一共有5种。
师：这5种是行的，是不是只有5种？
生：加上小数就有无数种，如2.1、2.2、…、2.9等等。
师：什么样的小棒都可以吗？
生：大于2.1厘米小于7.9厘米的小棒都可以。
师：2.01行不行？2.001呢？7.999呢？
生：应该是大于2厘米、小于8厘米的都行。
“你认为一共有多少种配法”，有的学生开始是在整厘米数范围内考虑，得出共有5种。在教师的“是不是只有5种”的追问下，学生的思维有了拓展，可以有无数种。但是，绝大多数学生的头脑中还没有建立起一个正确的取值范围。对于小学四年级的学生而言，范围的建立的确是有一定困难的。学生认为“大于2.1厘米小于7.9厘米的小棒都可以”，教师没有直接否定，而是提出了2.01、2.001，让学生判断，这些数据既是具体的，同时在向2无限逼近，学生自然会想到2.00001也是可以的，那该怎样表述呢？“比2厘米长”已呼之欲出；以此思考，学生不难得出“又必须比8厘米短”。这样层层递进的启发引导，发散拓宽了学生的思维，有机地渗透了无限逼近的数学思想，锻炼了学生的抽象思维，培养学生抽象、概括能力。
片段5
师：请同学们回想一下，刚才在寻找“共有几种配法”时，你是怎样想的，怎样做的？
生1：先在纸上画一条线段，然后用两根小棒去围围看，这样试着去找。
生2：我想将3厘米和5厘米的两根摆成一个角，再连接另两头得到要配上的小棒。
师：两种方法，你现在更喜欢哪种？为什么？
许多学生选择第二种方法，理由是：一来可以避免太短或太长的盲目性，二来可以找到许许多多种配法。教师顺势进行板书（如右图），启发学生思考得出，这种方法很容易发现配上小棒的长度范围，并使学生意识到：面对问题，我们不仅要关心答案，更要关心用怎样的方法去找答案，方法往往比答案更重要！
小学生的元认知水平相对较弱，他们关心的往往是问题的答案，却很少会关心自己的思想方法及所用的策略。第二种方法的学生，虽然没有了盲目，并且容易找到了多种配法，但也很少有人去深入思考其取值的范围。引导学生学习解决问题的策略，进行深度的数学思考，是数学教学的重要任务之一。怎样引起学生对自己解题策略的关注呢？课中，教师没有在出示题目后马上告知学生怎样就能马上找有许多种配法，而是在学生经过一番自主探究之后，引导学生“回回头，看看走过的路”，进行不同方法的比较，深深地体悟到“策略比结果更重要”，实现由只关心题目结果向关注解题策略的转化。
片段6
师：下面的两组线段，能围成三角形的用手势勾表示，不能的用叉表示。并说出理由。
出示：在能搭成三角形的一组线段下面打“√”。
对于1厘米、2厘米和3厘米的这组线段，学生都做出了正确的判断，理由是1+2=3，所以不能围成三角形。对于2厘米、4厘米、3厘米的这组线段，大家的意见也是一致的：因为2+3＞4，所以能围成三角形。
师：（重复学生的回答，并作板书）因为2+3＞4，所以能。
师：照此说来，对于第一组的小棒，我们也可以说（板书）：因为1+3＞2，所以能。
一石激起千层浪。学生思考着，纷纷发表自己的看法――
生：这是不对的。因为1+2=3，所以不能围成三角形的。
师：为什么第二组由 2+3＞4就能断定能围成三角形？
生：因为2厘米、3厘米是较短的两条线段，它们的长度之和大于最长的，那么用最长的去加上2厘米或3厘米，肯定要比3厘米或2厘米长，这是肯定的。
师：原来如此，有道理！请大家继续判断――
出示：有三条线段，其中两条线段的和大于第三条，这样的三条线段能围成三角形吗？
学生的判断各不相同，有的认为能，有的认为不能，也有的认为不一定。
师：谁能说服别人？
生：我认为是不一定能！你说一定能，那么象1厘米、7厘米和3厘米，其中1+7 ＞3，是不能围成三角形；你说一定不能，象4厘米、5厘米和8厘米，其中4+5＞8，却是能围成三角形的。所以，我认为是不能肯定的。
师：用事实说话，真让人信服！那么，把“其中”换成哪个词，满足条件的三根线段就一定能围成三角形？
学生又思考着，有的认为把“其中”换成“较短”，大多数学生表示同意，也有学生提出换成“任意”，经过交流，形成了一致的意见。最后，教师出示一个三角形并提问，三角形三条边之间有什么关系？学生轻易得出：三角形任意两边的和大于第三边。
给出的两组小棒能否围成三角形，学生能做出正确判断。教师这“理直气壮”的类比，激起了学生对类比所得错误结论原因的思考，不仅深刻揭示出数学知识的本质：任意两条线段的和大于第三条，就能围成三角形；而较短两条的和大于第三条，则其它情况必然也大于第三条。而且，渗透类比的思想方法，学生体会到类比的结果不一定正确，还需要验证。我们知道，要证明一个命题是正确的，不能只举几个正例就能证明的。但是，要证明一个命题是错误的，只需举出一个反例。让学生结合具体问题，学习举反例来证明，进行数学推理的训练，是很有必要的。
教学是一门有遗憾的艺术，上面的教学中一定仍存在着不足。我认为，对于遗憾的态度，应该悦纳并不断地探究，不断地改进教学，使数学活动的过程成为智慧和人格不断生成的过程。着眼于智慧和人格生成的教学，应该把重心放在提高互动的质量上。影响互动质量的有许多因素，如互相尊重、民主平等、和谐宽松的学习氛围，独立自主地探究学习，同伴之间的合作交流，教师适时的启发引导等，而设计有价值的问题是一个重要的因素。对于教师“怎样的三根小棒一定能围成三角形”的问题，学生回答“一样长的三根一定能围成三角形”，这是最贴近学生思维实际且无懈可击的答案，然而却没有揭示三角形边的关系。在教师“三角形就只有三条相等这一种吗”追问下，学生才有 两根一样长、三根各不相等的两种情况，教学才得以继续展开，很是牵强。而教师设计的“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法”的问题，学生在尝试中自然会发现配上的小棒不能太短也不能太长，自然会产生到底有多少种配法的想法，自然会想小棒的长度会不会有一个范围，怎样表示这个范围等问题。所有这些问题都因三根小棒之间的关系引起的，而解决了这些问题，知识的本质也就被深刻地揭示出来。高质量的互动，必须有高质量的问题。
何谓高质量的问题？高质量的问题自何而来？我认为，高质量的问题应该具有趣味性、开放性、挑战性、差异性和实践性，解决问题的过程中应该饱含着数学的思想方法和策略应用。高质量的问题来自于教师的刻苦钻研：对教材的研究，发掘数学知识中隐含着的数学思想方法；对学生的研究，了解学生的认知起点、认知水平及学习新知识时可能的思维方式和各种困难等；对以往教学的研究，反思教学过程，积累经验，发现问题等。在此基础上，围绕教学的主线（显性的数学知识和隐性的数学思想方法）设计高质量的问题。数学教学就要抓住数学思考这一本质，而设计好问题是数学思考的关键。有高质量的问题，才会产生高质量的互动；有了高质量的互动，智慧和人格自然会在其中生成。