钱金铎:如何引导学生在操作活动中学习数学

一、主题内涵
   皮亚杰曾说过，动作是智慧的根源。但长期因袭下来我们的传统教学都是以儿童静坐，老师串讲的僧院修行的方式进行，严格遵循“感知―理解―巩固―运用”的心智发展模式。这种片面的教学方式，既不利于培养儿童对于知识的恒久兴趣，也难以使儿童在各个学习领域得到真正的发展。新课程标准指出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。教学观念、教学方式的变革，最终都要落实到学习方式的转变。改变传统的单一、死记硬背、机械训练、被动的学习方式。建立和形成能充分调动发挥学生主体性的多样化的学习方式，，促进学生在教师指导下主动地、富有个性的学习，引导学生在操作活动中学习数学是课程改革的一项重要任务。教学中，如何把一些抽象的数学概念变为小学生看得见、摸得着、理解得了的数学事实？这是每个数学老师在课堂教学中必须很好考虑的问题。教学心理学的研究和许多成功的案例说明，有的放矢地让学生动手操作是提高数学学习质量的有效策略之一，因为这样做既符合儿童的生理、心理特征，可以吸引他们把注意力集中到有意识的数学活动中来；又能使他们在大量的感性材料的基础上，对材料进行整理，找出有规律的现象，逐步抽象、概括，获得数学概念和知识，使抽象问题具体化。
二、案例描述与评析
操作要有明确的要求
案例一：（面积意义和面积单位）
当学生已经初步认识了边长是一厘米的正方形面积是一平方厘米后，教师提出了操作要求。
师：我们每个学生手里都有4个1平方厘米的正方形硬纸片，现在请大家解决一个问题，把下面的两个图形面积通过操作测量出来，看出谁既能知道结果又能说出测量的方法。
生：（认真地进行操作：度量图形的大小。一个正方形面积是4平方厘米，用4个1平方厘米的小正方形刚好测量出来；另一个3×2厘米的长方形，部分同学发生了困难---）
师：同学们操作测量得非常认真，有结果了吗？
生：第一个正方形面积是4平方厘米。
生：第二个长方形面积有6平方厘米。
师：只有4个小正方形，怎么就知道有6平方厘米？
生：因为这个长方形有6个好摆。
生：老师，我也是这个答案，没有摆满我也能知道。
师：你们真聪明，不但测量的结果正确，而且又有好的方法。谁愿意上来说说你的妙法？
生：（到黑板前边说边示意），我先横的摆了一排3个，第二排只摆了一个，实际上也有3个好摆，所以我就知道一共能摆6个，是6  平方厘米。
师：（师带头鼓掌，后学生也高兴地鼓掌，表示祝贺）
师：我们的同学不但能学到知识，而且还能思考操作测量的方法，确实了不起！
[评析]操作是一种学习手段，通过它为理解和掌握概念、法则和规律提供感性知识。发展学习数学的能力。因此，学生的操作活动必须要有明确的目的要求，教学中设计的操作内容可以让学生根据已有的生活经验和认知发展水平，自己确定操作的思考方向，主动安排操作步骤和方法。从案例一中我们不难看出，用1平方厘米的正方形的面积是多少，其教学目的至少有如下  条。一是通过操作测量使学生初步建立1平方厘米的面积概念；二是感知4平方厘米和6平方厘米面积的大小；三是让学生在测量中1平方厘米正方形不够的情况下，激发起思考热情，鼓励学生勇敢地面对困难，创造性地解决问题，从而初步感悟出测量的基本方法，同时也为教学长方形面积有意识地作些铺垫。这样的操作目的明确，将操作活动与数学思维，知识技能与过程方法有机地结合在一起，充分发挥了操作的功能。
操作要有教师有效的指导
案例一（圆柱和球的认识）
师：我们先来认识圆柱。圆柱有哪些特征呢？请大家拿起圆柱形的物体，先仔细看看，摸一摸，滚一滚。然后告诉大家，你发现了什么？（学生操作）
师：你发现了什么？根据学生的回答，逐步总结并验证如下特征（板书）：上下两个面都是圆形的，大小一样。从小到大一样粗。（可以来回滚动）（每得出一条，师生就共同加以验证。）
师：“从上到下一样粗”，是真的吗？有什么方法可以验证？老师这里有一个铁圈，边说边拿铁圈从上到下套一套。
师：“上下两个面是圆形的，大小一样”你是怎么知道？
生：看出来的。
生：摸出来的。
生：滚一滚知道的。
师：为什么？
生：如果上下两个面大小不是一样的，滚起来会转圈。
师：是这样的吗？大家分别用圆柱形的物体和装橡皮泥的盒子滚一滚，看看有什么不一样。
师：还有什么方法？
生：把上下两个面中的一个面取下来比。
师：如果一个面也取不下来，该怎么办？（举手人数不多）前后4个同学讨论一下。反馈汇报。
生：先把两个面在纸上都描下来，然后用剪刀剪下来，比一比。
师：（在黑板上描出其中一个面）教师没有带剪刀，也不想再描另一个面，该怎么办？
生：已经把其中一个面描下来了，只要拿另一个面去比一比。
师：你们明白他的意思吗？谁来试试？指名学生到黑板上操作。
案例二（圆柱和球的认识）
师：这是一块橡皮（边说边拿出一块圆柱形的橡皮），它是圆柱形的吗？请用手势告诉我。（学生判断）
师：有两种意见，到底是不是圆柱形呢？我们先来做一个小小的实验。（出示由十几块橡皮叠成的圆柱）这是由十几块橡皮叠成的，它是圆柱形吗？让学生判断。为什么？
生：因为上下两个面是圆形的大小一样，从上到下一样粗。
师：逐渐减少块数，继续判断。提问：还是圆柱形吗？为什么？
生：具有圆柱形的特征。
师：减少到一块橡皮，让学生判断。提问：它是不是还具有圆柱的这些特征？
生：是圆柱形的，尽管矮了一点，但还是符合要求的。
接着出示类似的物品要求学生判断。
师：如果再薄一点，象一枚硬币那样，还是圆柱形吗？请拿出硬币看一看。让学生把5枚硬币叠一叠，比一比，谁叠得最象圆柱形？
学生操作。
师：这是两枝同样的铅笔，都是圆柱形的。现在把它们连接起来，还是圆柱形吗（边出示边讲述）？如果再接上一枝，是不是？如果再长一些呢？如果截取其中的一段呢？
最后教师强调：象这些物品不管是高的还是矮的，厚的还是薄的，粗的还是细的，只要具有圆柱的特征，我们就可以判定是圆柱形的。
操作要给学生合理的空间
案例一：（“倍”的练习）
为了帮助学生进一步理解倍数关系应用题的数量关系，教师引导学生在操作过程中感悟数量关系，具体教学过程如下：
师：我们每个小朋友手里都有6个▲和10个■，请你摆一摆，要求是：■的个数是▲的2倍。看看谁摆得对，而且方法多，速度又快！
生：[ 独立地进行操作 ]
师：谁先告诉大家，你是怎样摆的？
生：我摆▲3个，■摆了6个。
师：为什么？
生：把3个▲看作1份，■要摆2份，就要摆6个。
生：我把4个▲看作1份，■摆了2份，有8个。
生：▲我摆了5个，■摆了10个，■的个数也是▲的2倍。
生：…………
师：想一想，一共可以摆出多少种？
生：6种。
师：还能摆吗？
生：卡片不够了。
师：如果给你们很多很多的▲和■，你们还会摆出“■的个数是▲的2倍”吗？
生：能。▲10个，■20个。
生：▲50个，■100个。
生：…………
师：还有多少种可以摆？
生：许多种。
生：无数种。
生：…………
师：现在我们换一种玩法，把每个小朋友的6个▲拿出来，同桌两人合作摆。要求把这12个▲摆成2排，要全部用完。还要求其中一排三角形的个数是另一排的倍数。看看哪一桌的小朋友合作得最好，摆得对又快，方法又多！
生：[合作操作]
然后在教师引导下进行交流，发散，归纳，……
[评析]本案例中的学生操作活动安排，既有明确的要求，又具有一定的层次和开放性，为不同学生的数学思考留有合理的空间。教学中，教师紧紧抓住“■的个数是▲的2倍”和“一排个数是另一排的倍数”这两个“上不封顶，下要保底”的开放题，通过让学生动手摆一摆，充分地感知数量之间的关系。通过创设情境，引导学生想象、分析、交流，进而概括出它们之间的数量关系。在这两个环节的操作过程中，教师对学生既有独立的要求，又有同桌合作的安排；既有基本的操作思维要求，如：摆出其中的一种，又有发展性的操作思维要求，如：摆出二种或二种以上的，特别是“11个▲是1个▲的11倍，6个▲是6个▲的1倍”这样比较特殊的倍数关系。操作活动最大限度地满足了每一个学生的心里需要，最大限度地开启了每一个学生的智慧潜能。而且，从面向全体出发，也才有可能为有特殊才能和爱好的学生提供了更广阔的操作探索活动的空间和更多的发展机会。
操作要把握好教学契机
案例一：（有余数的除法）
课前每个学生准备了15个小圆片，上课一开始，教师就让学生按要求摆小圆片，具体过程如下：
师：请小朋友一起来摆小圆片，你们愿意吗？一共有几个小圆片？（15个）我们把它们一份一份地摆起来，每份个数要相同，你们说一说，每份可以摆几个呢？
学生认为每份可以摆1个、2个、3个、4个、5个……
师：接下来请同学们一边摆一边把各种摆的结果记录在下面的表格里：
每份个数份数余下的个数
271
350
433
530
623
721
………………
师：我们已经把分的结果记录在表格里，观察一下你们发现了什么？同桌学生讨论后回答：刚才摆小圆片的活动可以分为哪两种情况？（一种正好分完，一种分后还有余数）
接着教师引导学生用算式表示上述操作活动得出的结果。形成了这样的板书：
15 ÷ 2 = 7 …… 1
15 ÷ 3 = 5
15 ÷ 4 = 3 …… 3
15 ÷ 5 = 3
15 ÷ 6 = 2 …… 3
15 ÷ 7 = 2 …… 1
15 ÷ 8 = 1 …… 7
师：你们仔细看一看，这些算式中的余数有什么特点？
生：余数都是分了多出来的。
生：余数都比除数要小。
师：是吗？（学生点头表示没有意见）那为什么呢？
大多数学生露出疑惑的神情，教师就加以点拨引导说：如果把多出来的小圆片再分一份行吗？