郜舒竹

　　这一讲我们重点研究正方形中整体与局部的关系，先从最为简单的情况入手。

　　问题：已知正方形ABCD中（如图1），E、F两点分别是CD和AD边上的中点。连接AE和BF两条线段，将正方形分为了四个部分。如果大正方形的面积为1，那么这四个部分的面积分别是多少？

　　图中四个部分分别为三角形ABO和AOF，四边形FOED和OBCE。首先为了发现各个部分之间的关系，我们连接两条辅助线OD和OC，如图2：

　　这时不难发现三角形AOF与FOD的面积相等，三角形DOE和EOC的面积相等。而且还有如下结论成立：

　　如果设三角形AOF的面积为a，那么三角形FOD的面积也是a，三角形

下方程：

　　所以本题答案分别为：

　　用图形表示出来就是图3：

　　本题中的“结论2”是解决有关长方形问题时经常用到的，希望同学们熟练掌握。在上面问题的基础上，我们还可以解决如下问题：

　　问题：如图4，在正方形ABCD中，E、F、M、N分别是四条边上的中点。分别连接AE、BF、DM、CN四条线段，将正方形分为了九个部分。如果大正方形的面积为1，求这九个部分的面积。

的面积都是：

　　中间小正方形的面积为：

　　本题利用“剪剪拼拼”可以更简便地解决，请同学们自己思考。我们还可以在前面问题的启发下，编出下面的问题：

　　问题：如图5，在正方形ABCD中， E、 F、 M、N分别是四条边上的三等分点。分别连接AE、BF、DM、CN四条线段，将正方形分为了九个部分。如果大正方形的面积为1，求这九个部分的面积。

　　我们仿照前面的思路解决本题。先在正方形中去掉两条线段并增添两条辅助线，如图6：

　　这时就有如下结论成立：

　　1.三角形FOD的面积是三角形AOF面积的2倍。

　　2.三角形OCD的面积是三角形OED面积的2倍。

　　设三角形AOF的面积为a，则三角形FOD的面积为2a，三角形DOE的面

形（为什么是梯形？）的面积都是：

　　中间四边形（其实是正方形，为什么？）的面积为：

　　我们还可以编出更为复杂的问题，比如将上题修改为：E点是二等分点，F点是三等分点，M点是四等分点，N点是五等分点，其它的条件和结论不变。这样一来，实际上仅仅是破坏了对称性，增加了计算的繁难度，但是方法却没有改变，请同学们自己叙述出问题，并作出完整的解答。

　　以上所有问题的思路都是一致的，就是通过添加辅助线寻求不同部分之间的关系，进而找到局部与整体的关系。下面我们再来看一个与梯形有关的问题。

　　问题：如图7，是一个梯形ABCD，已知梯形的下底CD长度是上底AB长度的3倍，梯形面积为1。梯形的两条对角线将整个梯形分为了四个部分，求这四个部分的面积。

　　所求四个部分分别为三角形ABO、AOD、DOC和BOC。首先不难发现三角形AOD和BOC的面积相等。由于梯形的下底CD长度是上底AB长度的3倍，所以三角形ADC的面积是三角形ABC面积的3倍，因此就得到三角形AOD的面积是三角形ABO的3倍，三角形DOC的面积是三角形BOC面积的3倍，如果假设三角形ABO的面积是1倍量，那么三角形AOD和BOC的面积就是3倍量，三角形COD的面积是9倍量。因此三角形ABO的面积为：

　　三角形AOD和BOC的面积都是：

　　从以上问题我们可以总结出一条经验，就是要学会“找关系”。