彭林

　　数学家应用筛法，早在古希腊时代就有了成功的例子，厄拉多塞（约公元前200年）首创并运用筛法，制定出有史以来的第一张质数表，他采用的方法是：

　　先列出1～100的全部整数，然后从中筛去合数和“1”，余下的就是质数了。筛去“1”，不会有问题，但合数该怎么筛去呢？合数，无非是2的倍数、3的倍数、5的倍数等等，所以，只要把它们一一筛去就可以了。但是剔除到何时为止呢？考虑到100以内的合数n，总可以分解为两个整数的积，而且这两个整数中至少有一个不大于10（倘若两个都大于10，其积就大于100了），也就是说，100以内的合数，总是2或3、5、7的倍数，不必无限制的剔除下去。

　　在下表中“1”未列入，2的倍数用“/”删去，3的倍数用“/”删去，5的倍数用“○”删去，7的倍数用“□”删去”，余下的就是100以内的质数（读者可以用这个办法将下表中的质数找出）。

　　不难知道1～100之间的质数有25个，它们是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

　　值得注意的是，有些数既是2的倍数，也是3的倍数，甚至还是5、7的倍数，在“筛”时，只要“筛”一次就可以了，它起到了重复“筛”的功效。

　　显然，筛法的基本思想是：以一定的条件（“筛子”）为依据，对所研究的对象进行考察，把符合条件的对象选上来，把不符合条件的对象淘汰掉，最后便得到我们所需要的结果。

　　下面再看几个例子。

例1 下式中的不同字母代表不同数字，相同字母代表相同数字，试问：每个字母代表什么数字时，该算式成立？

分析 这里共有十个不同字母，正好代表十个不同数字，关键是从哪入手开始想，由于式中每个字母之间是有联系的，所以我们应该从最好想的字母入手，也就是从可能性最少的字母入手做为突破口。

解 从个位与十位开始想，由于Y＋N＋N的个位是Y，T＋E＋E的个位是T，这说明N与E一个是0，另一个是5，如果N＝5，那么E＝0，这时就有T＋E＋E＋1＝T，这是不可能的，因此应该有N＝0，E＝5。

　　下面看字母O与字母I，由于N＝O，所以I＝1是显然的，由此即知O＝9。

　　再来看字母T与R，由于O＝9，所以R最大可能是8，又由于I=1，所以R＋T＋T必须进位2，从而可知T至少是6。

　　如果T＝6，这时R只有两种可能性：7或8，若R＝7就有X＝0，与N＝0矛盾；若R＝8就有X＝1，这与I＝1也矛盾，所以T≠6。

　　如果T＝7，这时R只有6与8两种可能性，若R＝6，有X＝1，与I＝1矛盾；若R＝8，有X=3，这时还剩下F、S、Y三个字母，2、4、6三个数字，由于S＝F＋1，2、4、6三个数字中的任意两个都不满足这个要求，所以T≠7。

　　筛掉了上面的两种情况，只有T＝8，这时依照上面讨论不难确定R＝7（详细讨论留给读者自己完成），从而有X＝4，F＝2，S＝3，Y＝6，至此算式已翻译完毕，即

例2 有A、B、C三人参加M项全能比赛。在每一个项目中，第一名、

　　第二名和第三名分别得分P₁、P₂和P₃，它们都是自然数，并且P₁＞P₂＞P₃，最后计算总分时A得22分，B与C均得9分，B跑百米第一，问

　　如果M＝2，这时只有跳高和百米两项比赛，由于B在百米赛中得分P₁，他总分只有9分，因此P1至多等于8，这样A无论如何也得不到22分，所以M≠2。

　　如果M＝4，这时有P₁＋P₂+P₃＝10，由于B得了一个第一，所以他至少得分P1＋3P3，又由于B的总分是9，所以我们有P₁＋3P₃9，由此不难看出P1不能超过6，又由A得总分22知P1还不能小于6，所以P₁＝6，这样一来就有P₂＋P₃＝4，所以就有P₃＝1，P₂＝3，这是不可能的，因为这时A最多得分是6×3＋3＝21，不够22，因此 M≠4。

　　排除了以上两种情况，只有M＝5，下面我们来分析每个人的得分情况，这时我们有P₁＋P₂＋P₃＝8，由于P1、P2、P3互不相同，所以P₃＝1，否则的话，左边至少等于2＋3＋4＝9＞8。因此就有P₁＋P₂＝7，不难发现P₁至多等于5，同时又不能小于5，所以P₁＝5，从而也就有P₂＝2。