提起灵感，不由得使人想到爱尔兰大数学家哈密顿发现四元数。1843年10月16日，哈密顿和他的妻子一同去都柏林市，当他步行到希洛汉桥时，思想的电路突然被接通了，迸发出火花，终于得出四元数的基本公式。他当即从身边拿出笔记本，立即记了下来。后来，爱尔兰皇家学会为纪念这个伟大发现，就把希洛汉桥改名为“四元数桥”。在此之前，哈密顿曾为这个问题苦心研究了15年，想不到竞在一次散步中得以解决。

　　法国数学家笛卡儿发现解析几何，也得到灵感的一臂之力。早在1617年，笛卡儿在荷兰服役时，就产生了把长期分道扬镳的代数和几何结合起来，使其相互取长补短的想法。那么，究竟用什么方法把代数和几何有机地结合起来呢？这成为他反复思索的一个问题。1619年，他随军驻扎在多瑙河畔的诺依堡。这些日子，他几乎整日沉迷在思索之中，极力追寻问题的答案。同年11月10日晚，他带着整日思索而不得其解的问题入睡了，一夜接连作了几个梦，梦中找到了他所要找的答案。对此，笛卡儿后来回忆道，受梦的启示，“第二天，我开始懂得了这惊人发现的基本原理。”这个基本原理就是解析几何思想。

　　象这种由于长期思索，不得其解，突然灵犀一点，茅塞顿开，导致数学发现的例子很多。“数学王子”高斯在一次谈话中叙述，他求证多年而不得解决的一个问题“终于在两天以前我成功了，……象闪电一样，谜一下解开了。我自己也说不清楚是什么导线把我原来的知识和使我成功的东西连接了起来。”

　　小读者们或许也有这样的经历；对于某一问题，我们往往久思而不得其解，纵令挖空心思，绞尽脑汁，冥思苦想，仍似一团乱麻，找不到答案。然而，有一天，突然听到了一句话，读了报刊上一篇文章，或是目睹某一自然景物，触景生“智”，于是灵机一动，“解”上心来，久悬的疑难，一下子就解开了。

　　请看下面的例题及其解决过程。

　　有两个容器，在第一个容器里放一升水，另一个容器空着，先把第一个倒了999次以后，每个容器里各有水多少？

　　这个问题从表面上看，似乎是利率或方程问题，但由于每次倒出水的比例不同，而又倒了999次之多，所以通过利率或方程的方法都难以求解。然而解题人由于一次喝水，却猛然闪现出这样的思想火花：“倒水！”于是决定不妨倒几次水试一试，从中看个究竟，得到下面的实验数据。