彭林
自然界里有许多周期现象。
月亮的圆缺，是以30天为周期的。我国的民间流传着“初三初四蛾眉水，十五十六月团圆”的说法，更精确地表达了月亮圆缺的规律。
季节的变化是以一年为周期的。哈雪彗星回归地球，是以76年为周期的。
在自然数王国里，也有许多有趣的周期现象。许多与自然数有关的问题，寻找并利用周期现象，可以给解决问题带来很大方便。
先看这样的一个问题。
设pn=1n+2n+3n+4n，其中n=1，2，3，……。问对于怎样的自然数n，pn可以被10整除？
这里有无穷多个正整数：p1，p2，p3，……。我们不应该一个一个地去鉴别，因为这样做一辈子也做不完。
解这个题目的时候，首先应当知道，一个整数能被10整除，它的个位数字必须是0；反过来，如果一个整数的个位数字是0，那么这个数就可被10整除。
这条道理虽然十分简单，但是它却大大地减少了我们的计算任务。我们只须关心pn的个位数字，其他位置上的数字根本无须过问。
由于pn是1n，2n，3n，4n的和，因此pn的个位数字一定是那四个数的个位数字之和的个位数字。
对于最初的几个n，我们计算1n，2n，3n，4n和pn的个位数字，并且把结果填到下列表格里。
由上表可见，p1，p2，p3，p5都可被10整除，但p4不能被10整除。那么p6，p7，p8，……会怎样呢？难道叫我们把这张表格无休止地填写下去才能得到完整的答案吗？
不！无止境地填写下去也没有用。何况，写出这五行，得到的信息已经足够了。
你看，表格中n=5的那一行与n=1的那一行是完全一样的！这就意味着，没有写在表上的n=6那一行一定与n=2的那一行完全一样（请想一想，这是为什么？），n=7的那一行必然会与n=3的一行完全一样。
这就是说，上述表格中各行数字的变化，是一种周期现象，它以4作为周期，循环往复地出现。一张没有尽头的表格，它的前四行就代表了它的全貌。
现在就可以下结论了：当n是4的倍数时，pn不能被10整除；当n不是4的倍数时，pn可似被10整除。
我们再看一个问题。
有15个数排列成一横排，每个数写在一个方格里，它们具有这样的性质；任何3个相邻的数加起来都是30；另外，已知从左边算起的第5个数等于7，第12个数等于11。问第7个数等于多少，最后一个数呢？
为了叙述方便，我们把从左边算得的第1个数记成x1，第2个数记成x2，第3个数记成x3，……。这里1，2，3，……称为“足标”或者“下标”。其中，“x1”，“x2”，……应看做一个统一的记号，就像a，b，c，……中的任何一个字母一样。
我们已经知道，x5=7，x12=11，现在要求x7和x15。
由题意，有
x1+x2+x3=x2+x3+x4=x3+x4+x5
=x4+x5+x6=……
由这些式子可得
x1=x4=x7=x10=x13，
x2=x5=x8=x11=x14，
x3=x6=x9=x12=x15。这些式子表明：数列x1，x2，x3，……，x15是一个周期为3的数列。
因此，x8=x5=7，x9=x12=11，再由条件x7+x8+x9=30知，x7=30-x8-x9=30-7-11=12。而x15=x12=11。
事实上，我们可以求出这15个数中的任意一个，它们分别是：12，7，11，12，7，11，12，7，11，12，7，11，12，7，11。
想想练练
1.把自然数中偶数2，4，6，8……依次排成5列（如下表所示），把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次编号，这样，数“1998”出现在第几列？
第1列第2列第3列第4列第5列
2.下面是一个11位数，它的每三个相邻数字之和都是20。你知道打“？”的数字是几？
3.一列数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是
1，1，2，3，5，8，13，……问这列数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行数最左边的几个数是：0，1，3，8，21……问最右边的一个数被6除余几？