彭林
完美的数
这是古希腊的一个神话故事。
战神瓦尔骑在高头大马上，指挥着部队操练。队形按照瓦尔的命令变换着，既整齐，又威武。当各队都是6人的4个分队，排成4种不同的方阵（允许排成一行或一列）时，瓦尔发现：每个方阵最前排的人数的和
1＋2＋3＋6＝12，
恰恰是每队人数6的2倍。
瓦尔又命令：各队都是28人的6个分队，排成6种不同的方阵，奇迹再次出现：每个方阵最前排的人数之和
1＋2＋4＋7＋14＋28＝56，
恰恰也是28的2倍。
战神为他的杰作振发。可是，除了6和28以外，瓦尔再也没有找到一个类似的数。例如，每队20人的分队可以排成6种不同的方阵，每个方阵最前排的人数之和
1＋2＋4＋5＋10＋20＝42，
而不是20的2倍。
显然，在上面的排列中，每个方阵最前排的人数都一定是这个方阵总人数的约数。并且，方阵的人数有几个约数，就可以排成几种不同的方阵。这就是说，6和28的美妙之处在于：它的所有约数的和，正好等于本身的2倍。或者说，它的所有真因子（除了本身以外的约数）之和恰好等于它本身。数学家们给这种数起了一个好听的名字：完全数。6和28是完全数中最小的两个。
还有没有其他的完全数呢？数学家们发现，在自然数里，完全数非常稀少，在1到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了计算完全数的公式：如果2n-1是一个质数，那么由公式
N=2n-1（2n－1）
算出的数一定是一个完全数。例如，当n＝2时，22－1=3是一个质数，于是N2＝22-1×（22-1）＝2×3＝6是一个完全数。当n＝3时，N3＝28是一个完全数。当n＝5时，N5＝496也是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n=521、607、1279、2203和2281时的答案。以后，数学家们又陆续发现：当n＝3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，由欧几里得公式算出的答案也是完全数。
在欧几里得公式里，只要2n-1是质数，2n－1（2n-1）就一定是完全数。所以，寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。
1979年，当人们知道244497-1是一个新的质数时，随之也就知道了244496（244497-1）是一个新的完全数；1983年，人们知道286243-1是一个更大的质数时，也就知道了286242（286243-1）是一个更大的完全数。这是一个非常大的数，大到很难在书中将它原原本本地写出来。
18世纪时，大数学家欧拉从理论上证明了，每一个偶完全数必定是由这种公式算出的。
那么，奇数中有没有完全数呢？
曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数，始终也没有发现奇完全数的踪迹。不过，在比这还大的自然数里，奇完全数是否存在，可就谁也说不准了。说起来，这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。
想想练练
完全数有许多美妙的性质，例如：
它除了1以外的每个约数的倒数之和等于1；
除了6以外，每一个偶完全数都可以用几个奇数的立方和表示。
请读者验证496和8218具有这两个性质。
和谐的数
数有着无穷的魅力，有些数字间的关系是那样神奇而和谐。
请看下面两组数：
1，6，7，23，24，30，38，47，54，55；
2，3，10，19，27，33，34，50，51，56。
首先，把两组数分别相加，我们发现
1+6＋7+23+24+30＋38+47+54+55
＝2+3＋10＋19＋27＋33＋34+50+51+56。也许读者认为这种现象不足为奇，任何人都能凑得出这类数字。事实好像也是这样。
然而再接下去就出现奇迹了。如果我们把上述两组数的每个数平方后再分别相加，等式仍然成立，即
12＋62＋72＋232＋242＋302+382＋472＋542＋552
＝22＋32＋102＋192＋272＋332＋342＋502＋512＋562。
将上式中的平方改为立方试试，等式仍然成立，即
13＋63＋73＋233＋243＋303＋383＋473＋543＋553
＝23＋33＋103＋193＋273＋333＋343＋503＋513+563。
更高次方的和等式是否成立呢？如果有兴趣的话，读者可以继续做下去。我们发现
14＋64＋74＋234＋244＋304＋384＋474＋544＋554
＝24＋34＋104＋194＋274＋334＋344＋504＋514＋564；
………
18＋68＋78＋238＋248＋308＋388＋478＋548＋558
＝28＋38＋108+198＋278＋338＋348＋508＋518＋568
然而，这些数字的9次方之和就不相等了。
我们再来看两组有趣的数：
123789，561945，642864；
242868，323787，761943。
它们有哪些奇妙的性质？
两组数之和相等：
123789＋561945＋642864＝242868＋323787＋761943；
两组数的平方和也相等：
1237892＋5619452＋6428642＝2428682＋3237872＋7619432。
不仅如此，现在把各个数的最左边一位数字都抹掉，我们发现，对剩下来的数来说，上述性质仍旧成立，即
23789+61945＋42864＝42868+23787+61943，
237892＋619452＋428642＝428682＋237872＋619432。
事情真怪，让我们再抹掉一位数字试试看，通过计算，可以看到上述性质依然成立，即
3789＋1945+2864＝2868+3787+1943，
37892＋19452＋28642＝28682＋37872＋19432
如此继续干下去，我们发现，每次抹掉最左边的一位数字后，这个性质总是“原封不动”地保存下来：
789＋945＋864＝868＋787＋943，
7892＋9452＋8642＝8682＋7872＋9432。
………
直到最后只剩下个位数字，这个性质依旧“巍然不动”：
9＋5＋4＝8＋7＋3，
92＋52＋42＝82＋72＋32。
简直像“金蝉脱壳”，一直脱到最后一层，其个性“至死不变”。
现在，我们还是从原先的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，逐步从右边抹掉数字。令人惊奇的是，这个性质居然还是保存下来了。
12378＋56194+64286＝24286＋32378＋76194，
123782＋561942＋642862＝242862＋323782＋761942；
1237＋5619＋6428=2428＋3237+7619，
12372＋56192＋64282＝24282＋32372＋76192；
123＋561＋642＝242＋323＋761，
1232＋5612＋6422＝2422＋3232＋7612；
12＋56＋64=24＋32＋76，
122＋562＋642＝242＋322＋76；
1＋5＋6＝2＋3＋7，
12＋52＋62＝22+32＋72。
现在，我们将原先的两组数中各数相同的数位上的数字抹掉，试试看。
同时抹掉千位和十位上的数字，有
1279＋5695＋6484＝2488＋3277＋7693，
12792＋56952＋64842=24882＋32772＋76932；
同时抹掉万位和个位上的数字，有
1378＋5194＋6286＝2286＋3378＋7194，
13782＋51942＋62862＝22862＋33782＋71942；
同时抹掉万位、百位、个位上的数字，有
138＋514＋626＝226＋338＋714，
1382＋5142＋6262＝2262＋3382＋7142；
同时去掉中间的四个数字，仍有
19＋55+64＝28＋37＋73，
192＋552＋642＝282＋372＋732。
想想练练
1．你能根据已知等式找出各组的规律吗？并请你将各组式子中的第四个等式补全。
（1）32＋42＋122＝132，
42＋52＋202＝212，
52＋62＋302＝312，
72＋（ ）＋（ ）＝（ ）；
（2）22＋32＋42＋92＝52＋62＋72
32＋42＋52＋122＝72＋82＋92，
42＋52＋62＋152＝92＋102＋112，
52＋62＋（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）＋（ ）。
2．给出下列数组
（1）312，756，867与423，534，978；
（2）8531，4115，3326与7322，6533，2117。
考查各题之间的两组数的和、平方和是否相等，是否也具有“抹不掉的相等关系”。