凌 鹏
在对抗性的游戏中，双方都想取胜，如果你能利用数学中的原理和方法，正确、合理地选择“作战”策略，那么你就能在一些“双人对奕”的游戏中，立于不败之地，做一名“常胜将军”。下面介绍几种斗智游戏，以及在游戏中获胜的方法。
问题1 两人轮流报数，但报出的数字不得超过10，也不为0。同时把两人所报的数一一累加起来，先报到100的，即为获胜者。如何报数，才能确保获胜？
分析与解答 我们要解决的问题是，为确保获胜，应该先报数，还是后报数？以后每次报数有没有什么规律可以遵循？为了便于叙述，我们假设甲、乙二人做这个游戏，并且甲先得到100，为了得到甲获胜的方法，我们可以倒着想，甲得到100之前的那一次应得到多少。因为每个人报的数最大是10，最小是1，所以乙最后一次报完数后，总和最大是99，最小是90，这样就知道，乙报数之前的总和应该是89，也就是说，甲为了先报到100，就要先报到89，不断重复这样的分析，我们就可以知道甲每次所报的数应该是：
100、89、78、67、56、45、34、23、12、1。
所以，甲确保获胜的方法是：
（1）先报1；
（2）乙报a（1≤a≤10），则甲就报11-a，这样甲就能首先报到100。
说明：要注意我们这里所寻求的是必胜的方法，碰巧获胜的方法是不算正确的。另外，这里经常要用到倒推法。
问题2 桌上有8颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子。他们规定，假如甲先拿（当然也可以乙先拿），甲可以拿任意颗瓜子，但不能拿光。接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿瓜子数的2倍。又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿的瓜子数的2倍。这样交替进行，谁最后把瓜子拿光就算赢。你有取胜对手的办法吗？
分析与解答 假如甲先拿，且拿3颗，则剩下的5颗可由乙一次拿光。于是乙胜，甲输。甲为了不让乙胜，显然不能拿多于3颗的瓜子数，而只能拿2颗或1颗。现甲决定拿2颗，乙就可以拿1（或2、3、4）颗。如乙拿2或3或4颗，都将认输，所以只能拿1颗。
这时桌上还剩下5颗瓜子，且又轮到甲拿瓜子。因刚才乙只拿了1颗瓜子，所以甲可拿1或2颗瓜子。如拿2颗，乙就能把剩下的拿光而获胜，所以甲只能拿1颗。接着乙也可拿1颗或2颗，但为了获胜只能拿1颗。这时桌子上只剩下3颗瓜子，仍轮到甲拿瓜子，且只能拿1颗或2颗，不管怎么拿，甲都是输定了。
从以上的分析可见，甲、乙的拿法都没有错，那么为什么甲会输而乙却赢了呢？
事实上，这既与数字8有关，又与甲先拿有关。
因为8是斐波那契数列中的数，乙每次拿过后，又为甲留下一个比较小的兔子数（前面分析中的5，3），所以甲注定要输。
这个游戏的事实是：如果甲、乙两人都清楚这个游戏的“窃门”，那么，若瓜子数是一个兔子数，则后拿者胜；若瓜子数不是兔子数，则先拿者胜。
说明：（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，其规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，后一个数都是相邻的前两个数的和。
（2）这种分析问题的方法在数学中叫递归法，它是一种很有意思的分析问题的方法，在数学研究中颇为有用。
问题3 有两堆火柴，两人轮流从其中任意一堆火柴中取出一根或几根，每次至少要取出一根，而且不能同时从两堆里取，谁最后把火柴取完，谁就获胜。问如何能确保获胜？
分析与解答 我们先来考虑最简单的特殊情况。
（1）如果两堆火柴都只有1根，当然后取者必胜。
（2）如果两堆火柴一堆1根，一堆2根，即（1，2），这时可以看出先取者必胜。因为先取者从2根一堆的火柴中取走一根，给对方留下（1，1），成为第（1）种情况即可取胜。
（3）如果两堆火柴是（2，2），先取者从一堆中取走1根，给对方留下（1，2），成为第（2）种情况必败；先取者从一堆中取走2根，给对方
从上面讨论中，可以发现两点：第一，如果两堆火柴的根数相等，先取者必败。因为这时不管先取者从一堆中取走几根火柴，后取者都可以相应地在另一堆中也取走相同根数的火柴，总保持给先取者留下相同根数的两堆火柴，以致最后留下（1，1）而获胜。第二，如果两堆火柴的根数不等，则先取者在多的一堆火柴中，取走两堆相差的火柴根数，给对方留下根数相等的两堆火柴，以确保获胜。
所以，必胜的策略是：
（1）若两堆火柴的根数相等，则采取下列措施：
①让对方先取；
②每次对方在一堆中取走几根火柴，你就在另一堆中也取走几根火柴。
这样，每次你都给对方留下相同根数的两堆火柴，最后对方不得不将一堆中的火柴拿完，而你可以拿走另一堆中的全部火柴而获胜。
（2）若两堆火柴的根数不等，则采取下列措施：
①先从多的一堆火柴中，取走两堆相差的根数，给对方留下数量相等的两堆火柴；
②按照（1）的方法取胜。
说明：这里用到了数学中的对称原理。由于两堆火柴数相同的形式是一种对称形式，而两堆火柴数不同的形式是一种不对称形式。因此，你每次取火柴后，两堆火柴都呈现对称形式，而对方每次取火柴后，两堆火柴都呈不对称形式。故最后的对称形式（两堆火柴数均为0）必由你取得。
同学们，如果你掌握了这些游戏获胜的“秘诀”，一定能“百战百胜”，做一名“常胜将军”。
想想练练
1.61根火柴，两人轮流拿取。规定每人每次至少拿走1根，最多拿走3根，直到拿完为止。谁拿得最后一根火柴谁胜。请问先拿者是否一定获胜？取胜的方法如何？
2.在黑上写下数2，3，4，……，1990），甲先擦去其中一个数，然后乙再擦去一个数。如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时，甲胜；若最后剩下两个数不互质时，乙胜。你愿当甲，还是当乙？
3.有三堆火柴，分别是12根、9根和6根，两人轮流从三堆中取火柴，每次只许从一堆中拿取，取的根数不限（但不可不取）。问如何取才能保证你能最后取完火柴而获胜？
4.两人轮流地往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，让硬币平放在桌面上，任何两枚硬币不能有重叠的部分。谁放完最后一枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了。
如果让你走第一步，你准备放在哪里？你有没有稳操胜券的对策？