郜舒竹
问题：将六个数字：1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有三个数字。
解决这个问题并不困难，可以采用枚举的方法，因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2和3两种可能性。
如果两个1之间是2，就可以排出三个数字：121，这时左右两边只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，放在左右两侧都可以：231213、312132，这就是本题的两个答案。
如果两个1之间是3，排出三个数字为：131，这时在右侧只能排2，即1312，这样另一个2就无处可放了，说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：
231213和312132
一道题目做完了，我们可以想一想，还有没有类似的问题，如果把本题的六个数改为八个数：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排一排，使得两个几之间就有几个数。
用前面的方法不难作出答案为： 23421314和41312432。进一步再想一想如果最大数改为两个5的十个数怎样排出这样的十位数来，经过反复试验，怎么也排不出来。
这时我们的思路可以变化一下，不要一味地去想怎样排，也许对1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这十个数来说，这样的排法根本就不存在，因此现在的思路应该是设法去说明这种排法不存在的道理。
我们采用填格的办法，将五个方格和五个圆圈相间地排成一排：
□○□○□○□○□○
对其中的偶数，比如2、2来说，无论怎样排，必然是一个放在□中，另一个放在○中，一共有两对偶数2、2和4、4，所以这四个数字就占据了两个□和两个○ ，还剩下三个□和三个○。
对一对奇数来说，无论怎样排，必然放在同样的格内，要么都是□，要么都是○。而现在还剩下三对奇数：1，1，3，3，5，5，如果两个1占据两个□，两个3占据两个○，剩下一个□ 和一个○，两个5就无处可填了。因此我们可以得出结论，对最大数为两个5的十个数来说，这样的排法是不存在的。
这样的排法有时存在，有时不存在，我们又要思考这样一个问题，对2n个数：
1，1，2，2，3，3，……，n，n
当n满足什么条件时，这样的排法存在，当n满足什么条件时，这样的排法不存在，我们还可以用前面填格的办法来解决这个问题，把n分为偶数和奇数两种情况分别讨论：
1．当n为偶数时
2．当n为奇数时
因此我们可以得出如下的结论：
对2n个数：1，1，2，2，3，3，……，n，n，当n为4的倍数或除以4余3的自然数时，这2n个数就可以排成一排，使得两个几个之间就有几个数。
例如，当n=7时，排法为：
73161345726425和52462754316137
当n=8时，排法为：
6274258643751318和8131573468524726
同学们可以自己去找一找 n=11和n=
12的排法。
通过前面问题的讨论，希望同学们注意两点：第一，做数学题不要“做完就完”，一道题目做完了，其实还有很多可以思考的内容，科学家的很多重大发明就是在类似于这样的思考中发现的；其二，当反复思考一个问题不得其解时，不要钻牛角尖，可以换一个思路，也许这个解根本就不存在，如果你把不存在的道理想出来，也算解决了这个问题。我们再来看下面一个问题：
如图1，圆周上顺次排列着1，2，3，…，12这十二个数，我们规定：相邻的四个数，比如2、3、4、5，顺序颠倒为5、4、3、2，就称为一次变换。问：能否经过有限次“变换”将十二个数的顺序变为如图2，并说明理由。
本题思考的思路应该是先集中精力想如果能做到，应该怎样做“变换”，实在找不到这种“变换”的方法，再来设法说明找不到的原因。事实上这种“变换”是存在的，我们可以用如下的八次“变换”完成。
第一次：（10，11，12，1）→（ 1，12，11，10）
第二次：（12，11，10，2）→（2，10，11，12）
第三次：（10，11，12，3）→（3，12，11，10）
第四次：（ 12，11，10，4）→（4，10，11，12）
第五次：（ 10，11，12，5）→（5，12，11，10）
第六次：（12，11，10，6）→（6，10，11，12）
第七次：（ 10，11，12，7）→（7，12，11，10）
第八次：（ 12，11，10，8）→（8，10，11，12）
其中只把每次变化的数表示出来，同学们可以自己画出每次“变换”的图形。另外，请同学们想一想，如果圆圈上排列的是1～13，类似的变换是否存在。