文学家和科学家一般都善于想象，一个人的想象力越强，对他的创造和发明越有帮助。列宁曾说过，“……在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。”
在数学的研究中，一般不用“幻想”、“想象”之类的字眼，而是用“猜想”这个词。“猜想”对数学的“发现”至关重要。有的数学家对某一问题经过分析探讨之后，凭着“猜想”发现一些规律，从而发现新的定理和法则。因此，“猜想”对推动数学的进展起着重要作用。不少中外数学家由于大胆进行“猜想”而有所发现和发明，如法国的费尔玛，德国的哥德马赫，就是历史上闻名世界的善于“猜想”的数学家。尽管他们有的问题猜错了，有的问题至今还没有解决，但这都无损他们对数学的伟大贡献。
n可以取0和自然数，当n＝0时，规定20＝1。后人把这种形式的数称为费尔玛数。费尔玛计算了前五个费尔玛数：
这是一个很有名的猜想。由于演算起来很麻烦，很少有人去验证它。
费尔玛的猜想被推翻了。但没有想到六十多年后费尔玛数竟又出现在用直尺和圆规作正多边形，这样一个完全不同的问题中。
正多边形是指这样一种多边形：它的顶点等距离地分布在一个圆周上。它有几个顶点，就称正几边形。例如右图中是一个正六边形。
早在古希腊时代，人们就能够用直尺和圆规作出正三角形、正四边形、正五边形和正十五边形（以及它们的2n倍的正多边形），但对其它一些正多边形，如正七边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。
1796年，正在哥廷根大学读书的19岁的高斯成功地给出了正十七边形的尺规作图法。不仅如此，后来他还证明了：对于边数是质数的正多边形，
这就是说，正七边形、正十一边形、正十三边形是不能用尺规作出的，因为7、11、13不是费尔玛质数，但是能作出正十七边形。高斯的成果解决了困扰人们两千多年的几何问题，震撼了全世界。
17以后的费尔玛质数是257和65537。后来有人真的给出了正257边形尺规作图法，长达80多页！一位名叫盖尔美斯的用尺规作出了正65537边形，其手稿有整整一只手提箱，现在还保存在哥廷根大学。谁会想到，费尔玛质数和几何作图竟有如此神秘的联系！
很自然，高斯的发现重新唤起了人们寻求新的费尔玛质数的兴趣和热情。遗憾的是，除了找到40多个新的反例外，至今仍没有一个新的费尔玛质数被
了0，1，2，3，4外，都是合数！
费尔玛还提出过另一个猜想：“任何一个数的立方，不能分解成两个数的立方和；任何一个数的4次方，不能分解成两个数的4次方之和；一般来说，任何次幂，除平方外，不可能分解成其他两个同次幂之和。”
这段话是什么意思呢？
对于xn＋yn＝zn这样的方程，当n＝2时，它有非零整数解。例如，x＝3、y＝4、z＝5就是方程x2+y2＝z2的一组解；x＝5、y=12、z＝13也是这个方程的一组解。但是，如果n=3，方程x2＋y2＝z2就没有非零整数解；如果n＝4，方程x4＋y4＝z4也没有非零整数解……
费尔玛猜测：只要n是比2大的自然数，方程xn＋yn＝zn就没有非零整数解。这就是著名的“费尔玛大定理”。
这个问题吸引了许多著名数学家。例如勒贝格，这位实变函数论的重要奠基人，就曾潜心证明过“费尔玛大定理”。
有一回，勒贝格确信自己解决了这个问题，写信通知法国科学院。科学院十分高兴，以为这个几百年前由法国人提出的数学难题，最终又由法国人自己解决了，赶紧组织一批数学家审查了勒贝格的论文。可是，人们在勒贝格的论文中发现了错误，指出他的证明是不能成立的。勒贝格拿着退回来的论文，很不甘心，喃喃说道，“我想，我这个错误是可以改正的”。但直到他去世，他也未能解决这个问题。
要证明“费尔玛大定理”实在太难了。
不少科学院设置奖金鼓励人们去解决这道难题。1908年，德国的哥廷根数学会宣布：谁最先证明了“费尔玛大定理”，就奖给谁10万马克。有效期100年，到2007年为止。
很快，欧洲各地掀起了一阵证明“费尔玛大定理”的热潮。在很短的时间里，仅德国的各种刊物上就刊登了近千种不同的证明。遗憾的是，这些证明都不是“绝妙证明”。
当然，献身于“费尔玛大定理”研究的数学家们，不是为了去争夺10万马克的奖金。他们顽强地拼搏着，是为了显示人类智慧的强大威力，为了揭示隐藏在难题后面的数学真理。
想想练练
1.验证当n＝5时，费尔玛数是―个合数。
2.求出x2+y2＝z2的五组非零整数解。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫是一个德国数学家，生于1690年，从1725年起当选为俄国彼得堡科学院院士。在彼得堡，哥德巴赫结识了大数学家欧拉，两人书信交往达30多年。他有一个著名的猜想，就是在和欧拉的通信中提出来的。这成为数学史上一则脍炙人口的佳话。
有一次，哥德巴赫研究一个数论问题时，他写出：
3＋3＝6，3＋5=8，
3+7＝10，5+7＝12，
3＋11＝14，3＋13＝16，
5＋13＝18，3＋17＝20，
5+17＝22，……
看着这些等式，哥德巴赫忽然发现：等式左边都是两个质数的和，右边都是偶数。于是他猜想：任意两个奇质数的和是偶数，这当然是对的，但可惜这只是一个平凡的命题。
对―般的人，事情也许就到此为止了。但哥德巴赫不同，他特别善于联想，善于换个角度看问题。他运用逆向思维，把等式逆过来写：
6＝3+3，8=3+5，
10＝3＋7，12=5+7，
14＝3+11，16＝3+13，
18＝5＝13，20＝3＋17，
22＝5+17，……
这说明什么？哥德巴赫自问，然后自答：从左向右看，就是6～22这些偶数，每一个数都能“分拆”成两个奇质数之和。在一般情况下也对吗？他又动手继续试验：
24＝5＋19，26＝3＋23，
28＝5＋23，30＝7＋23，
32＝3＋29，34＝3＋31，
36＝5＋31，38＝7＋31，
……
一直试到100，都是对的，而且有的数还不止一种分拆形式，如
24＝5＋19＝7＋17＝11＋13，
26＝3+23=7＋19＝13+13
34＝3+31=5+29＝11+23＝17+17
100=3＋97=11＋89＝17＋83
=29+71=41+59＝47+53.
这么多实例都说明偶数可以（至少可用一种方法）分拆成两个奇质数之和。在一般情况下对吗？他想说：对！于是他企图找到一个证明，几经努力，但没有成功；他又想找到一个反例，说明它不对，冥思苦索，也没有成功。
于是，1742年6月7日，哥德巴赫提笔给欧拉写了一封信，叙述了他的猜想：
（1）每一个偶数是两个质数之和；
（2）每一个奇数或者是一个质数，或者是三个质数之和。
（注意，由于哥德巴赫把“1”也当成质数，所以他认为2＝1＋1，4＝1＋3也符合要求，欧拉在复信中纠正了他的说法。）
同年6月30日，欧拉复信说，“任何大于（或等于）6的偶数都是两个奇质数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑，它是完全正确的定理。”
欧拉是数论大家，这个连他也证明不了的命题，可见其难度之大，自然引起了各国数学家的注意。
人们称这个猜想为哥德巴赫猜想，并比喻说，如果说数学是科学的皇后，那么哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠。二百多年来，为了摘取这颗耀眼的明珠，成千上万的数学家付出了巨大的艰苦劳动。
1920年，挪威数学家布朗创造了一种新的“筛法”，证明了每一个充分大的偶数都可以表示成两个数的和，而这两个数又分别可以表示为不超过9个质因数的乘积。我们不妨把这 个命题简称为“9＋9”。
这是一个转折点。沿着布朗开创的路子，932年数学家证明了“6＋6”。1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”，这是按布朗方式得到的最好成果。
布朗方式的缺点是两个数都不能确定为质数，于是数学家们又想出了一条新路，即证明“1＋C”。1962年，我国数学家潘承洞和另一 位苏联数学家，各自独立地证明了“1＋5”，使问题推进了一大步。
1966年至1973年，陈景润经过多年废寝忘食，呕心沥血的研究，终于证明了“1＋2”：对于每一个充分大的偶数，一定可以表示成一个质数及一个不超过两个质数的乘积的和。即
偶数=质数+质数×质数
你看，陈景润的这个结果，离哥德巴赫猜想的最后解决只有一步之遥了！人们称赞“陈氏定理”是“辉煌的定理”，是运用“筛法”的“光辉顶点”。
想想练练
1.50以内有15个质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。请选出10个填入图内，使○＋○的和等于同一个50以内的偶数，把这个偶数填入中间的○内。
2.用给出的：3、3、5、5、7、7、11、11、13、13、17、17、19、23、23、23这16个数，根据哥德巴赫猜想，写出8个连续的偶数。
3.在3题图○内填上适当的质数，使每组○＋○的和等于一个指定的数。