第四讲 直线形面积（一）
 1． 同高三角形和燕尾定理：
  (1) 同高三角形面积的比等于底的比；
   如右图中：
   S△ABD : S△ACD = BD : CD
   思考：为什么？
  (2) 如右图所示：
   
   思考：为什么？（提示：连CD）
  

(3) 燕尾定理：
   如右两图所示，均有：
   
   思考：为什么？
 
 提示： 如果    ，那么       。
 

2． "金字塔"和"沙漏"：
   如右两图所示，
  如果AB与CD平行，
  那么：
   
 注意：沙漏的CD是"拧"着的。

例题：
1、如图，平行四边形ABCD中，EF平行于AC，连结BE，AE，CF，BF，与△BEC等积的三角形还有哪几个？
 
[分析与解答]
由于图中平行线有三组：AD平行于BC，AB平行于CD，EF平行于AC，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形。
先看与△BEC同底的三角形，若以BC边为底，这样的三角形还有△ABC，△BFC，它们两个不可能与△BEC等积，因为AE，AF都不与BC平行，也就不存在等高了，而以EC边为底的三角形还有△AEC，它的第三个顶点A与B的连线AB是与EC平行的，所以△AEC与△BEC等积。
直接与△BEC等积的三角形没有了，但可以间接求，与△AEC等积的三角形必然与△BEC等积。
如图中，△AEC的另一边AC与EF平行，则EF线上任意一点与A，C两点连线构成的三角形必然与△AEC等积，在EF上，只有E，F点，因此，△AFC与△AEC等积。
同样的方法可找到与△AFC等积的三角形△ABF。
所以与△BEC等积的三角形共有三个，它们是：△AEC，△AFC，△ABF。
2、如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？
 
[分析与解答]
连结EC，如图，因为AC＝3AD，△AED 与△AEC中AD，AC边上的高相同，所以△AEC的面积是△AED面积的3倍，即△AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC的面积且△AEC面积的四倍，所以△ABC的面积是6×4＝24（平方厘米）。
3、
将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。
 
[分析与解答]
    如图，连接CD、BF，则
 
三角形ADC的面积 ＝ 三角形ABC的面积 ＝ 1；
三角形BDE的面积 ＝ 三角形BCD的面积×2 ＝ (1+1)×2 ＝ 4；
三角形CDF的面积 ＝ 三角形ADC的面积×3 ＝ 3；
三角形BCF的面积 ＝ 三角形ABC的面积×3 ＝ 3；
三角形BEF的面积 ＝ 三角形BCF的面积×2 ＝ 6；
三角形DEF的面积 ＝ 三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角形CDF的面积 +三角形BCF的面积 +三角形BEF的面积 ＝ 1+1+4+3+3+6 ＝ 18。