第二讲 约数与倍数
基础知识
分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。
设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）
最大公约数和最小公倍数的求法。
短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。
约数与倍数的相关性质：两（多）个数的公约数是它们最大公约数的约数；两（多）个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数； ； 。
例题
1. 求 ； ； ； 。
分析与解答： ＝2， ＝4828
＝4 ＝15364640
2. 分数 、 、 的最大公约数是________；最小公倍数是________；。
分析与解答：（ 、 、 ）＝
[ 、 、 ]＝
3. 180一共有________个约数；这些约数的和是________；720有________个奇约数；这些奇约数的和是________；
分析与解答： 因为 180＝22×32×5
180的约数个数为：（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18个。
180的约数的和为：（1＋2＋4）×（1＋3＋9）×（1＋5）＝546
因为720＝24×32×5
720的奇约数的个数为：（2＋1）×（1＋1）＝6
720的奇约数的和为：（1＋3＋9）×（1＋5）＝78
4. 1~20中，有________个数的约数之和是4的倍数；
分析与解答：
3，（1+3）；6，（1+2）×（1+3）；12，（1+3）×（1+2+4）
7，（1+7）；14，（1+7）×（1+2）；11，（1+11）；19，（1+19）
15，（1+3）×（1+5）
共有8个。
5. 7663和81 的最大公约数最大是________，最小公倍数最小是________；
分析与解答：7663＝79×97 8148＝97×84. 所以最大公约数最大是97.
因为 79×103＝8137 8148＝97×84，所以最小公倍数最小是79×97×84＝643692
6. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540。这样的自然数一共有________组；
分析与解答：设这两个数是 6a ，6b，且（a,b）=1.那么6ab＝540，可得ab=90.
a=1,b=90或a=2,b=45或 a=5,b=18或 a=9,b=10.共四组。
7. 两个自然数的和是99，它们最大公约数和最小公倍数的和是231，那么这两个数分别是________、________；
分析与解答：设这两数的最大公约数是m,这两数分别为ma,mb. 最小公倍数是mab，那么
ma＋mb＝m(a+b)= 99 m +mab=m(1+ab)=231
从以上式子可看出：m为99与231的公约数，且m必为奇数。所以m=1,3,5,9,231.
（99， 231）＝33，所以m为33的约数，m=33，11，3.这样就可以得到：
当m=33时，a+b=3, 1+ab=7，不成立。
当m=11时，a+b=9, 1+ab=21,此时a=4,b=5.
所以这两个数分别是44，55.
8. 5位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.
分析与解答：
(1)根据2号~15号同学所述结论同学所述结论,将合数学4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.
4=22,6=2 3,8=23,9=32,10=2 5,12=22 3,14=2 7,15=3 5
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).
(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是
22 3 5 7 11 13=60060
因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.