拜读了2007年第3期《中小学数学》的《“小棒操作”为哪般》一文，作者提出的“动手操作活动时需要思考的两个问题”值得我们冷静再思考：什么情况下需要动手操作？怎样的动手操作才是有价值的？文中作者认为把学生用小棒来解释算理的“动手操作”才是真正有价值的。真是这样吗？今天我以《笔算除法》为例，也来谈谈自己的观点。
一、问题的提出
笔算除法是小学数学教学的最基础的知识和技能之一，是小学数学计算教学中的一块重要内容。在我以前的课堂教学中，学生经常出现这种笔算形式，如除
21 数是一位数的笔算除法：（除数是两位数的除法的笔算也同样会出现
2）42 这种形式）大都是把口算结果以笔算形式表示出来，对于除法的笔算
42 算理过程在竖式出现很难（即使有，也是事先学生通过其他途径 事
0 先得知的）。那学生知道算理以后是否不会出错了呢？于是我也和很
多教师一样通过动手操作分小棒验证，获得感性认识；再用电脑演示，通过小组交流等，学生从一系列的活动中动手、动脑、动口，多种感官协同作用，从而理解知识，发现规律，获得方法 ： 21 但在后面练习的反馈中，还是有近三分之一 的学生喜欢用上面一种 2 ）42 形式，于是出现了只能在后面的数学课中花大量时间来纠正、练习 4 和巩固的尴尬局面。 向很多同仁请教 ，原来在他们的教学中也 是这种 2现象。为什么学生接受笔算除法方法这么被动？怎样让学生理解 笔算除法 2 的算理，并让算法――笔算过程成为学生的一种自觉行为？成为我们小学 0 数学教师共同探讨研究的问题。
要解决笔算除法中共同的难点，关键是怎样抓住学生的心理特点，让他们理解“除数是一位数的笔算除法” 的笔算方法，而后续学习除数是两位数、三位数的除法只是一个迁移、类推的过程。“除数是一位数的笔算除法”是人教版《义务教育课程标准实验教科书 数学》三年级下册第19、20页的内容，笔算除法是在口算除法和除法竖式的基础上进行教学的，主要教学一位数除两位数的算理、基本的运算思路和竖式写法。学生在学习时借助直观操作的方法理解算理，在理解的基础上体验得出两位数除以一位数的基本方法：先用一位数去除十位上的数，然后将余数和个位上的数合并，再用除数去除。并在做笔算除法的过程中熟练地应用。如何让学生自主实现从算理到算法的过渡，这是本节课的难点。
二 、几种课堂教学现象片段的罗列与质疑
我们教师是如何来呈现课堂，让学生从算理到算法的过渡变得那么被动与艰难？现从听课记录和各种教学资料中罗列出最常见的几种课堂教学现象。
片段一：
1． 追求形式型
（1）根据具体情境列出算式：42÷2 52÷2
师：42÷2等于多少（生：42÷2＝21）你是怎么想的？同学们会口算出答案，那么怎样用竖式计算呢？
（2） 学生尝试用竖式计算，出现
第一种 第二种
21 21
2）42 2）42
42 4
0 2
2
0
（3）比较一下，你喜欢哪一种算法？说说理由。
（4）师边用电脑演示第2种算法边讲解：笔算除法的计算顺序和口算一样，要从被除数的最高位除起。
（5）师：现在就请同学们用自己喜欢的方法列竖式算52÷2
学生独立计算后反馈。
第一种 26 第二种 26
2）52 2）52
52 4
0 12
12
0
（6）你们同意哪一种算法？
学生讨论后得出：第一种是先口算出26的，应该用第二种方法才正确。”
（7）师：让我们借助小棒来验证（师生共同摆小棒，师边演示边讲解）
52÷2也就是把52根小棒（5捆和2根）平均分成2份。先把5捆平均分成2份，每份是2捆（20），还余1捆；再把多余的1捆拆开与2根合并是12根也平均分成2份，每份是6根，加起来共分得26根，所以 52÷2＝26
反思：以上教学片段表面上看非常热闹，非常符合《数学课程标准》中提出的算法多样化，鼓励学生独立的思考、引导学生比较各种算法，让学生选择合适自己的方法，并为学生提供交流的机会，比较哪种方法好，并且学习其他的方法。实际真是这样吗？
质疑一：42÷2 和 52÷2的教学应该怎样突出重点和突破难点？应该把时间重点花在哪道？本片段两道题都采用尝试――交流――验证模式，平均花力，重复教学。
质疑二：真实的课堂真恰如教师预设的吗？42÷2 算法交流时若学生中没出现第二种笔算形式怎么办？若教师讲解第二形式后，学生认为太长还是不喜欢怎么办？不喜欢第二种形式的，通过 52÷2的尝试，学生一定会喜欢选择第二种吗？若还坚持选择第一种怎么吧？
在事实的课堂教学里，许多教师确实在“你喜欢哪种算法”“你同意哪种算法”的旋涡中绕不过来的很多，以致到最后没完成教学目标。
片段二：
2、机械模仿练习型
（1）根据具体情境列出算式：42÷2 52÷2
（2）教师先后边讲解边示范42÷2 52÷2的笔算形式，并随之进行大量相应的练习
反思：本片段其效果检测肯定要比前者高，教师重在强化训练意识，优化训练方法，缺失了学生独立思考的机会 ，旨在通过大量的练习使学生掌握知识、形成技能。
质疑一：教师重视算法，而忽视了算理。学生知其然，而不知其所以然。
质疑二：忽视了学生的思维发展。
避免计算的单一性、枯燥性弹性化，这是数学课程改革的根本目标。是否以学生的需要、发展为着眼点是衡量正确教学观的一个重要标准。。
片段三：
2． 重组教材型
考虑到大部分学生对于例1（42÷2＝）的口算并不困难，如果先让学生学习这一题的笔算方法，学生体会不到笔算的必要性，并很容易将竖式的格式写成
反思： 显然第三个片段要优于前两者，但当堂效果检测，以上三者学生笔算方法的错误率都很高。那导致这个结果的原因到底是什么呢？比较三者，不难发现：
1．口算与笔算的方法对立。上述教学片段教师都认为：不能口算，所以要学习笔算。使学生产生口算与笔算方法截然不同的想法，在他们的印象里直接写出得数就是“口算”，用竖式就是“笔算”，把形式的区别误以为是思考过程的不同。从计算教学产生来说，口算与笔算除法都是因为分物体的需要。
2．重讲解轻操作。听过了，可能就忘记；看过了，可能会明白；只有做过了，才会真正理解。没有亲身的体验，没有积极的活动，很多知识便如同“过眼烟云”，很难扎根在学生脑海中。上述片段中仅有的操作也只是为了检验算法的正确与否，经历不够充分。让每位学生动手操作小棒、再与同桌互相说说操作的过程，然后引导他们思考如何用竖式来表示分小棒的过程，充分调动学生的手、口、脑等多种感官参与数学学习活动，使学生经历从具体操作到表象操作，再到形式操作的过程，实现“抽象内化”，达到理想的教学效果，顺利地实现对知识的正确构建。
3．错误的数学概念形成观。在原始数学概念的形成中，要经历数学思维，而这一思维的先导是形象思维。而我们的教学本末倒置，先出现算法，再用具体的操作验证，操作只是算法教学的一小环节，操作成了一种摆设。“儿童的智慧在他手指尖上” （苏霍姆林基语）阐明了操作是智力的起源，是思维的起点。“磨刀不误砍柴工”，教师不能怕操作费时，只有让学生 “做数学”，动手摆一摆、拼一拼，量一量，在做一做、看一看、想一想的活动中，亲身体验，才能理解新知识，提高数学能力。
三、教学建议与实践
关于这个问题，教师们众说纷纭，都在论文上发表了自己的观点，但有一点是共同的：出现“口算式笔算”原因在于没展示操作的全过程。其诊断意见一般都认为应重视加强两种不同形式的比较，用操作来验证算法的合理性，重在强调比较。而笔者认为出现这一现象的原因在于教师轻视具体操作，在学生还没充分体验、稳定形成概念表象之前，过快进入后一阶段。做好形象思维向逻辑思维的转化，是解决这个问题的根本所在。笔者在具体教学实施中是这样来安排课时的：
第一课时：操作计算
第一层次：具体操作
展示操作，并说说是怎样分的
1．40根（4捆）小棒平均分给2个小朋友，每人分到几根？40÷2＝20
2．42根小棒平均分给2个小朋友，每人分到几根？42÷2＝21
3．52根小棒平均分给2个小朋友，每人分到几根？
在分的过程中出现5捆小棒平均分给2个小朋友后，多出的一捆不能以捆去分，怎么办？出现问题，就得想解决问题的方法：不能以“捆”分，就把这1捆小棒解开和2根合起来以“根”来分。52÷2＝26
4．比较第3次分与前两次分过程中的不同：第3次以“捆”分不能全部分完，剩下的捆数必须和个位的小棒合起来以“根”分。
5．操作练习：34÷2＝17 42÷3＝14
第二层次：以画代分
1．把84根小棒平均分给6人，每人分到几根75÷3＝25
出现实际困难，带来的小棒不够。引导：在实际计算中要带够所分的小棒是不实际的，是否可以用画的形式代替。
2．84÷3＝28在画的过程中发现把几捆几根画好也很浪费时间，是否可以用数代替小棒，实现分的半抽象：先把8捆小棒平均分成3人，每人分到2捆，剩下的2捆不能以“捆”再分，解开与个位的2根合起来以“根”继续分。
第三层次 操作内化
把操作、画的过程般到大脑，让学生脱离具体实物依靠，大脑中展现分的过程，并通过语言进行具体表述，实现操作内化，有思维的形象性向抽象性过渡。
第二课时 笔算计算
有前一课时中的操作内化引入到笔算，让学生理解笔算能更好的展示分的这一过程。
这样的安排就不会出现很多教师教学中遇到的那种尴尬局面，其笔算算理的理解掌握程度远远大于前面几种。只要是学生需要的，动手操作才是最有价值的。“智慧自动作发端”（皮亚杰），动手操作是最易于激发学生的思维和想象的一种活动，在这一过程中，把学生的外部操作与内部的数学思维紧密结合起来，加深了学生对所学知识的理解。教师所要做的只有一件事：站在学生的角度，安排操作的最佳时机。