第三讲 余数问题　　

基础知识　　

一、巧算余数的方法：　　

(1)主要思想：被除数去掉或者添上除数的倍数，不会改变余数。

(2)余数的特征：2，3，5，7，9，11，13，4，8，25，125。

(3)在加，减，乘的混合运算中如何去求余数，两数之和的余数等于两数余数的和，两数之积的余数等于两数余数的乘积。

二、了解同余符号，和有关的性质，掌握“韩信点兵”问题的解法。　　

例题　　

1.         一个两位自然数去除375，余15，这个数可能是________________；（36）
解答：375－15＝360，这个两位数一定是360的约数，且大于15（除数比余数大）。那么这个数为：90，72，60，45，40，36，30，24，20，18.

（1732）

2.         一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是________________；
一个四位数，被131除余112，被132除余98，那么它可能是________；
解答：设此三位数为　17a　+5=18b+12.  可得到　17a　=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除，b=10,27,44.这个三        位数为192，498，804.
设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除，y=14，145（太大）
这个四位数是1946

3.         甲、乙、丙三个数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。A是________；
解答：如果A除丙所得的余数是1份的话，那么A除乙所得余数就是2份，A除甲所得的余数就是4份。把2乙-甲，则没有余数，即2乙-甲使A的倍数；同理乙-2丙也同样没有余数，是A的倍数。

939×2-603=1275，939-393×2=153

A是1275和153的公约数，而1275与153的最大公约数是51，所以A可能是1，3，17，51

再实验得到A为17，余数分别为8、4、2。

（1732）

4.         1）今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何？
（23+105k）2）一个数除以7余3，除以11余7，除以13余4，符合此条件的数最小是________；如果它是一个四位数，那么最大可能是________；
解答：（1）此数除以3余2，除以5余3，除以7余2，满足条件最小数是23

（2）满足除以7余3，除以11余7的最小数为73，设此数为73＋　77a　=13b+4, 69－a=13b.

a最小等于4.满足条件的最小数是381.

设最大的四位数为381＋1001x,最大的四位数为9390.（1732）

5.         今天周一，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　天之后是星期________；这个数的个位数字是________；
　　　　天之后是星期________；　　

解答：只要求出　 　　　÷7的余数就可以知道　 　　　天后是星期几。　 　　　≡5²⁰⁰⁷（mod7），5⁶≡1(mod7)　　

2007≡３（mod6）, 　　　　≡5²⁰⁰⁷≡５^３≡６（mod7）　　s　　

所以　 　　　天之后是星期日　　

2007的个位数字是7　　

2007²的个位数字是9　　

2007³的个位数字是3　　

2007⁴的个位数字是1　　

2007⁵的个位数字是1
（1732）

2007⁶的个位数字是7
（1732）

。。。。　　

可以看出个位数字是4个一循环，2007÷4＝501….3,  　　　　的个位数字是3.
（1732）　　

　　　　=2007×2006×2005×….×669÷3⁶⁶⁸　　

算式2007×2006×2005×….×669中因数3的个数为： [　 　　　]+[　 　　　]+[　 　　　]+[　 　　　]+[　 　　　]+[　 　　　]－[　 　　　]－[　 　　　]－[　 　　　]－[　 　　　]－[　 　　　]＝669＋223＋74＋24＋8＋2－222－74－24－8－2＝670.　　

　　　　=2007×2006×2005×….×669÷3⁶⁶⁸的余数为0. 　　

　　　　=2007×2006×2005×….×669÷3⁶⁶⁸÷7的余数也为0.　　

所以　 　　　天之后是星期一。