例谈算法多样化的“点睛”艺术

《数学课程标准（实验稿）》在第一学段和第二学段分别提出“提倡算法多样化”和“鼓励算法多样化”，这与传统数学教学中“每种运算只讲一个方法，每道题目只有一种解答思路”相比，无疑有助于避免学生思维僵化，发展学生数学思维，逐步培养学生的创新意识和自我价值观念。作为一项新事物，许多教师在实践中开始了自觉的探索。笔者在调研中普遍看到这样一种倾向：教师先出示问题，学生用多种方法解答，有的题目学生只能想出一种解法的，教师也不遗余力的启发、引导；教师往往将主要精力花在这一环节，而后面的交流、评价似乎变得异常“轻松”，学生依次发言，教师一律称好，最后出几道题目，让学生用自己喜欢的方法解答就算结束。似乎这样，就发展了学生的数学思维，体现了学生的主体性，尊重了学生的个性差异。算法多样化，仅仅是多种算法吗？算法多样化后教师的主导作用仅仅体现在叫“好”上吗？许多报刊的探讨已经对此说“不”，日本学者岛田茂也说过：“我们必须注意到另一种危险，即是过分的开放以致认为任何一种解答都是可以接受的。”算法多样化应防止陷入形式化的误区，这里不再赘述。笔者想指出的是，算法多样化的效用关键在于呈现多样化的算法之后，教师如何组织和引导学生正确分析和认识各种算法的价值，以及学会在不同情况下灵活的选择合适的算法。本文正是从此角度谈谈如何作好这一“点睛”之笔。

“点睛”之一：多中择”优”，灵活选用

数学课堂中在学生算法呈现多样化后，常常表现这样一种不适症状：让学生选择自己喜欢的方法，学生并不是自觉地从最优或较优的角度考虑，或是固步自封，自以为是，总是选择自己的算法；或是不相信自己，迷信他人，总以为别人的方法就是好，或是无所适从，等待由教师主观指定最优的方法。因此，在学生算法呈现多样化后，教师的一个重要任务就是引导学生分析、反思、比较各种算法（这个过程应当是在小组或全班的交流中进行），正确地认识每一种算法的价值和适用范围。也就是说，教师不一定需要让学生掌握每一种解法，但必须让学生认识到多种算法中，有的是基本算法，可以在类似情境中扩展应用，有的是特殊算法，仅在特殊情况下适用。经常这样“点拨”，学生即能学会具体分析，灵活选择最优或较优的算法。

例如教学《分数除以分数计算》时，教师创设问题情境，引出计算：  ÷  ,学生尝试后主要得出四种解法：①  =0.525,   =0.875

0.525÷0.875=0.6=    ②21÷7=3,40÷8=5,3÷5=  ;③原题=

（    ×40）÷（ ×40）=21÷35=  ，④原题=

（  ×  ）÷（  ×  ）=   ×  =

多种方法呈现后，教师首先引导学生辨析各种算法的优缺点。

师：同学们想出了多种不同的方法，①是把分数化成小数来算；②是直接相除；③、④用了商不变的性质。对上面的方法，你们有什么看法？

生1：第1种方法只能用于那些分数能化成小数的题目，象

÷  这样的题目就不好算。

生2：第2种方法好象不正确，它的结果碰巧对了。

生3：刚才老师提到第3种、第4种都是用商不变的性质来算，我发现不一定要把被除数、除数都转化成整数，把除数转化为1就很方便。

生4：（很兴奋的接着说）只要将被除数乘除数的倒数就行了。

比如： ÷   ，就等于  ×  ，（  × ）÷（  ×  ）=  × ÷1，    

除以1可以省略。

（这时候没有学生关注生2的说法，教师作了适度的提示：第2种方法也是正确的，只不过它的适用范围比较小。）

……

此时，教师又进一步突出了如何合理计算（而不仅仅局限于一种算法）：

师：如果让你计算，你将选择哪一种方法？

生1：我当然选择第4种方法，因为它最简便。

生2：我一般情况下会选择第4种方法，但如果题目中数字允许，我也会选择化成小数或直接相除的方法。

师出示：选择自己喜爱的算法计算。

①   ÷         ②  ÷        ③  ÷

（①只能用一般方法；②可以用直接相除法；③可以化小数计算）

“点睛”之二：多中讲“序”，系统整合

在开放式数学教学中，由于题目的条件、问题、结论或其它方面的开放性，也会出现算法多样化。这种算法的多样并无优劣之分，每一种算法只是题中解答的一个方面。这时，教师在学生呈现多样算法后，就要站在一个更高的层面来系统整合学生的答案，引导学生全面的分析、思考和解答问题。

例如教学《10的分与合》时，教师创设情境：妈妈将10块糖分给哥哥和弟弟，她可能会怎么分？为什么？学生思考后交流：①哥哥5块，弟弟5块，因为这样分最公平。②哥哥4块，弟弟6块，因为哥哥大一些，要让着弟弟。③哥哥7块，弟弟3块，因为弟弟不怎么喜欢吃糖。④哥哥8块，弟弟2块……

很多教师可能到此就教学结束，教师可在此处作一“点晴”：

师：同学们真了不起，有这样多的方法，那么，在这些方法中，哥哥最少得几块？最多得几块？

生：最少1块，最多9块。

师：那么你能有条理地把上面的方法写下来吗？

教师出示空表，学生填写，得到：

或者

把看似杂乱无章的各种方法条理化的分析，既进一步培养了学生的开放思维，又可以使得学生的思维更加有序、全面，从个别思维发展为系统思维，养成用联系的、辨证的眼光观察、思考事物的习惯。

这种系统整理也可用一段话来概括。如教学求多位数的近似数，其中一道练习：9□4760000≈10亿，学生回答可以填5、6、7、8、9。教师应适时归纳：尾数上所填的数字应大于、等于5。

“点睛”之三：多中梳“理”，提炼策略

算法多样化中教师的作用不只在于使思考更全面，方法更优化，教师还要注重揭示“方法背后的方法”，提炼出知识内容本身的策略思想，提高学生的控制能力，达到“闻一知十”的效果。

例如教学《简单的统计》，教师出示：说说你从下面的统计表里能搜集到哪些信息？

水泗小学第四季度水、电费交纳情况统计表

2004年2月

学生答案很多：①了解到每个月的水费、电费、水电费总额。②每个月水费逐渐减少。③每个月水费比电费少了。④可能天气冷了，喝水的人少，水费就少了。不同层次、不同水平的答案都有。是否可以认为，把上述答案全部引出，教学就已经达到目标了？

这里，教师不妨进一步引导学生作些分析、反思：

师：可以直接从这张统计表里得出的信息是什么？

生1：每个月的水费、电费和水电费总额。

师：怎么得来的？

生1：每一格里都显示相应的数字。（师板书：逐个观察）

师：还有什么发现？

生2：每个月水费在逐渐减少。

师：你是怎么看出来的？

生2：是将三个月的水费进行比较的。

师：这是纵向比较。纵向比较还可以搜集到什么信息？

生3：每个月的电费在逐月增加。

生4：每个月统计一次（看左边月份一栏）

师：很显然，发现每个月的水费比电费少是怎样比较的？

生：横向比较。（师板书：比较观察。）

师：哪位同学看出天气冷了，喝水的人少了的？（生站起）你是怎样看出的？

生：因为统计表上显示水费少了，我想可能是这个原因。

师：还可以通过数据来分析。（师板书：分析反思）

  当教师给学生揭示“逐个观察――比较观察――分析反思“的观察步骤，学生再观察、分析其它的统计表，就可以举一反三了。

总之，算法多样化，绝不是形式上的多样算法，算法多样化不仅“应尊重学生的想法，为学生提供交流的机会，”更要“使学生在相互交流中不断完善自己的方法。”教师应根据不同情况，通过优化算法、整理算法、提炼算法中的策略等多种途径帮助学生“完善”方法，这也正是需要教师浓墨重彩的点晴之笔。