一、日本正在进行的数学教育改革

    数学教育改革运动正在日本进行。数学教育的新目标建立在普通教育的新目标基础上，也就是锻炼意志和端正态度以持续终身自我教育；发展智力和才能以适应时代的变化；尊重个性和培养个性。新课程的数学目标如下：

    小学阶段：目标是培养儿童以逻辑推理的方法透彻地观察日常生活现象，要求有处理数、量和儿何图形的基本知识和技能，从而培养他们欣赏数学的能力，并在生活中主动运用数学。

    初中阶段：目标是帮助学生加深对有关数、量、图形的基本概念、原理和法则的理解，要求掌握数学表达的方法和应用数学的能力，增进他们用数学考虑问题的能力，帮助他们欣赏数学思维的方法，以便使他们自觉地运用这些方法。

    高中阶段：帮助学生加深对数学基本概念、原理和法则的理解，使他们在思考和处理不同现象时，能运用数学的思维和方法，从而培养他们用这种数学思想来解决问题的能力。这些目标是针对80年代以来教育环境而言的，许多学生感到学习数学没有
 
兴趣，不愿去学。他们只是为了升高中和大学的考试不得不学习数学。这是由“回到基础”运动造成的，这次运动把应学习的数学内容限制到最低要求，它反映了70年代日本新数学运动的内容过量，因此希望通过限制内容给学生更多时间学习。但是某些教师误解了这个最低要求，以为是对教学的束缚，把它变成了一种填鸭式教学和重复的操练练习。这种教学决不会让学生愉快地学习数学，相反他们不喜欢数学，甚至会导致将来的低下的成就，削弱日本的工业发展。
    但是数学教育的新变化可能预示着日本数学教育新纪元的到来。在日本现代学校制度建立初期，即在明治时代，数学教学的目标是尽可能快地教更多的知识。因为他们希望从过去的长时间封闭中尽快解脱出来，达到西方文明程度。虽然在官方文献中，数学教学的目标是教给学生们日常生活和就业的有用的知识，使他们掌握日常生活的计算技巧，也使他们能精确地思考。而实际上的教学着重灌输数学知识和训练计算技能。

    那个时代的教师可能只是拥有简单数学知识和算法的教师。数学教学方法只是由教师举出一些运用算法的例子，并不解释这些算法的原理，然后教学生做许多练习。例如他们知道普通分数的除法等于被除数乘以除数的倒数，但他们并不解释为什么是这样的。他们只知道分数的除法法则，他们一味地依赖课本和教师指导书。即使是现在，我们也能发现这祥的教师，他们只不过是一些较差的教师而已。

    较好的教师强调很好地理解数学。他们渴望研究儿童心理学。因为他们把学生视作接受者，把好的数学教学看作是根据接受者的要求教数学。他们强调通过提供数学知识、技能和发展解决数学问题的能力来通过人学考试。而优秀的教师则具有丰富的数学知识、问题解决能力，教学法和心理学方面的知识等等。他擅长教数学，谈吐文雅，解释数学事实时能够关心学生是否理解，留给学生适当的练习，根据每个学生的需要给予适当的建议，他能够在一个适当的机会评价学生，给学生以有益的指导。这些就是现在培训优秀教师的基本标准。

    在日本，我们在这点上似乎已取得了一些成就。但是和国际上交流的结果表明，日本学生对数学和数学学习的态度很少是自己想要学的。这意味着我们在数学教学上存在着一些失误，这使得我们必须改进日本的数学教育。

    我们期望的优秀数学教师和教学要有一些附加的目标，如培养学生想要学的态度，发展数学思维，当然也提供数学知识和技能。虽然一般教师只向学生解释数学事实或给学生提供数学知识和技能，但优秀的数学教师不仅提供给学生数学知识和技能，而且培养学生探究的态度和数学学习习惯，还发展学生的数学思维和培养学生的创造性。许多教师可能认为可以通过教数学来培养学生的自觉态度和发展数学思维，但事实表明仅仅教数学既不能发展学生的数学思维，也不能培养学生自觉自愿的学习习惯。

    更优秀的教师能够让学生自己研究数学，或者和学生们一起做数学。他们鼓励学生们思考，并接受每个学生做数学的不同想法。为了培养学生的数学思维和探究的习惯，要求学生在问题解决的情境中学数学，学生需要采集数据，作出猜想，发现模式，得出结论并证明、推广等。这些可能就是全美数学教师协会（NCTM）要求美国教师培养的所谓数学能力。

二、日本的优秀教师

    我同意NCTM的观点。其中提到的教学方法在日本的优秀教师的课堂上已运用了很长时间。这些具有创造性思维的教师，相信教学并不是演讲，而是帮助学生自己进行数学学习。他们关注于鼓励学生独立思考和增强学生在课堂上学习数学的能力。

    一般的教师在算术和数学课上作演讲，只是提供数学事实和计算过程，而优秀教师努力让差生继续学习，使日本数学教育在国际研究中显得很成功。日本教师把班级作为一个整体，好象一个班级就是一个人一样，帮助学生去思考，提出见解，鼓励他们学习数学，结果，教师说得越少，教学效果越好。日本的优秀教师尽可能考虑到这些，在他们课堂中的学生被期望自己解决问题，做他们自己的数学，少数优秀教师甚至让学生制定一个他们自己的学习计划。

    然而，某些教师对教学存有一些怀疑：教师在教学和学方环境中充当什么角色？每个学生都能发展他的数学能力吗？

    首先，教师的作用是在课堂上为学习数学设置一个适当的问题情境，在这个情境中，学生能够相互合作，解决问题和学习数学。教学似乎发展成整个班级在创造数学，但是是否每个学生都参与，每个人都自己解决问题以及每个人都能提高自己的数学能力就令人怀疑了。在课堂上，可能全体学生共同创造数学，而在现实中，可能只有优秀的学生才能创造数学，而另外一些学生既不会思考问题，也不会解决问题，而只能学会优秀学生已经做好的东西。要使每个学生都能创造数学和发展数学能力，教师必须在课堂上给每个学生思考、解决问题和创造他自己的数学情境的机会。

    为了让每个学生都能做数学，日本的优秀教师制定了一种教案，在课堂上给学生儿分钟时间思考和解决问题。在这几分钟时间里，教师的作用是给差生以帮助和指导，以便每个学生都有机会发现问题、解决问题和进行数学思维。

    每个学生在个别活动期间得出一些结论以后，教师设置一个教学情境，以班级为单位进行讨论。在这种情形下教师的角色是在个别化活动后选择结果，组织他们创造性地和有效地讨论。有些教师可能会制定一个计划，在课堂上给某些学生提供一些解决问题的方法，以便在每种解答中体现一些好的图想方法。另外一些教师可能马上在班上给出所有的答案，让他们相互比较。通过这些过程期望学生们学习一些好的思想、好的解题方法和不同的思维方法，这在日本是一种普通的方式，也是优秀教师让学生们参与创造数学的过程。

    一般教师只给出数学事实和过程的解释以及问题解决的例子，从这个观点来看，这种教学可能认为是一种无效的教学。实际上一些参观了日本学校的外国人怀疑像这祥的教学是否是有效的，是否真的在日本很风行。当然，并不是所有的数学课堂教学都是这样，有许多数学课只是给予一定内容的讲解和习题。但是优秀的教师希望像上面提到的在活动中教数学，以达到培养学生的数学能力和独立学习的态度的目的。我想这些教学在新技术时代到来之际也是合乎需要的。

三、优秀教师的培训

    我们希望有这样的优秀教师。为了培训出这样的教师，有必要向教师灌输这样的信念：数学能够通过教师给学生适当的问题情境和相关的辅助而让学生创造它。然而，有许多教师不能保持这样一种信念，不能使他们的数学课堂充满创造性。他们坚持的是另一种信念：学生没有足够的知识和能力来发明数学，和数学本身悠久的历史比较，给学生发明数学的时间太短了。

    这似乎是有道理的，但是如果我们想要像上面提到的那样改进数学教育，我们应该希望教师们转变他们的信念，应该认为学生有能力发明数学，数学能够被学生发现，在教学中可以用发现法。

    但是如果有许多教师不能保持这种信念，我们可能需要考虑一下他们不愿意保持这种信念的原因。

    一般地说教师认为学生们不可能创造所有数学的观念似乎是正确的。但是我坚持这种观点，有许多数学事实学生是能够发现和发明的。美国数学教育家J．W. A. Young说数学能提供独立发现的早期机会。我想这是实情。学生有许多发明数学的机会。而没有这种信念的教师却让学生失去了做他们自己的数学的机会，重要的是教师应该保持这个信念。

    一般来说，数学来源于日常生活情境。数学是在从日常生活情境中抽象和推导的过程中形成的。因此，小学和中学的数学教学是基于这样一种观点：从解决日常生活中的问题开始，然后从中抽象和归纳。课本也是从这个观点出发的。例如，具体的问题解决情境被用在分数的除法和负数的乘法的教学过程中。给学生问题情境让他们去探索，发现解答方法，归纳、发明数学。

四、教学中的发现法

    即使他们承认教学中的发现法，某些教师仍然反对。因为这种方法在新数学运动中被证明是失败的，它还证明了这种方法尽管花了很多的时间却取得的成绩很少。他们会说发现数学事实和创造数学需要花费很长时间，而我们只有很少的时间给学生发明数学。

    我知道这种情形，我担心我们的新的教育在仅仅希望学生自己发现数学而没有考虑数学课程和教学的情形下可能会失败。学生们在教师给的具体情境下会有能力进行发明，但是如果没有给他们设计这种情境，学生可能就很难发明数学，他们需要发现一个适当的情境来创造数学。例如，学生们不能够创造适当的情境来发明分数除法的步骤，也不能发现负数乘法的法则。

    当学生们学习了联系温度的负数时，他们可能会认为两个负的温度的乘积一定在O℃以下。也许他们根本不能发现乘积会是正的。

    如果学生们学习了联系东西方向的负数时，他们将会考虑向东和向东距离的乘积，或者向西和向西距离的乘积。他们想不通为什么向西和向西距离（负数）的乘积不是向西，而向东和向东距离（正数）的乘积却是向东。学生们不可能发现这样的问题情境，即像教科书上要求的那样负的距离和负的时间相乘。

    从具体情形中抽象出数学，存在着一些困难，需要花费时间，最好是利用别的可能来发明数学。有一种观点认为数学可以由学生从一般原理，基本数学事实，或学生已有的知识中演绎出来，数学也有自己的渊源。这就意味着学生们发明数学要在他们已经学过的知识的基础上。教师应该明白这一点，如果可能的话，在学生已学知识的基础上发展数学将会更好。例如，教师知道分数除法步骤怎样让学生在已有知识的基础上来发明它吗？或者是负数的乘法步骤？不可能希望没有这些知识的教师会给学生提供发明这些步骤的机会，令人遗憾的是大多数教师并不知道这些。

    例如，在日本具有普通分数和小数除法知识的六年级学生，能够发现普通分数除法的商是在除法和普通分数的性质基础上得出的。而具有关于带方向的数的思想和乘法的性质等知识的七年级学生，能够在此基础上发现负数的乘积。

    但是大多数学生可能既不能发现商，也不能发现积，尽管他们有乘法和整数除法的知识，但是这些知识对发现分数的除法和负数的乘法并不是有用的。要发现它们，最有用的知识是关于这些运算的基本性质和数的观念，因为计算步骤是在运算基本性质的基础上进行的。如果教师已经教给学生与这些性质有关的整数的乘除步骤，就可以期望学生发现新的步骤。但是许多教师，包括小学和中学教师，似乎并不知道这些。

    为了让学生们自己发现商和积，教师必须知道哪些性质和观念可以作为发现新步骤的基础。要使他们得到这些性质，必须有从已经学过的数学运算基本性质、定律和原理中得出结论的经历。下面就是一些期望学生发现商和积的步骤：

    在日本，学生按下列顺序学习乘除法：

    2年级：乘法的基本事实

    3年级：（2，3位数）×（2，3位数）

           （整数）÷（1位数）

    4年级：（整数）×（整数）

           （整数）÷（整数）

           （小数）×（整数）

           （小数）÷（整数）

           （普通分数）＋（普通分数）     同分母

           （普通分数）－（普通分数）     同分母

    5年级：（小数）×（小数）

           （小数）÷（小数）

           （普通分数）＋（普通分数）     异分母

           （普通分数）－（普通分数）     异分母

    6年级：（普通分数）×（普通分数）

           （普通分数）十（普通分数）

    7年级：正、负数的概念（有理数）

           有理数的计数

           一个未知数的线性方程

    希望学生在下列基础上发现商和积：

    1．发现普通分数除法的商。我们将会看到普通分数的除法步骤是怎样在已有知识的基础上发现的。

    （1）利用乘法和除法互为逆运算的关系

    如果学生很熟悉乘法和除法互为逆运算的关系及基本性质，他们只要学了普通分数的乘法，便会发现普通分数除法的商。学生们很自然地猜想到商可能是分子除以分子作分子、分母除以分母作分母，因为积是分子乘以分子作分子，分母乘以分母作分母，事实上，有些学生就这样做了。

    但是有许多学生和教师反对这样做。他们给出一个例子说明这个步骤是不恰当的，如：2/5÷3/4。他们仅知道普通分数的除法是被除数乘以除数的倒数。

    如果他们记得分数的性质的话，这并不是一个问题。他们可以将分子除以3，分母除以5组成一个分数，用这种方法我们可以得出分数除法的一个算法：

    如果教师已经有过这种经验，他可能会给学生发明步骤的机会。但是如果教师没有这种经验，他可能会否定这个思想。前一种教师可能给学生创造发展自信心和自立的能力的机会，但后者则没有这种机会。前一种学生会感到他们能够自己创造数学，而后者的学生则不会有这种感觉。

    （2）利用一个正方形

    一个正方形通常用来解释分数的乘法，它广泛地用在每个国家的教科书上。一个正方形能用来解释在乘法的逆运算的基础上的分数除法，这在日本的教科书上可以看到。但它甚至对成年人来说都是很难弄懂的。我认为用正方形来解释分数除法的步骤可能不易弄懂，而我对于用正方形来解释分数的乘法也存有怀疑。

    （3）用除法的一个性质

    如果学生知道除法的性质，他们就能发现分数除法的商。

    除法的性质：当彼除数和除数同时乘以或除以同一个数，商不变。

    这个性质用在大数或小数的除法当中。例如：

    78900000÷230000＝7890÷23
    7.891÷0.23=789.1÷23

    用小数除法的思想，分数除法可以通过被除数和除数同时乘以同一个数把它们变成整数而不改变商的值。例如：

 或

    简化这个过程，就能够得出分数除法的形式化步骤。教师的角色就是给学生一些把分数除法形式化的建议。

    （4）运用除法的形式：a＋b=a/b

    如果学生学会用分数a/b来表示a÷b的商，他们就可以把2/5÷3/4的商表示成（2/5）/（3/4），然后化简，最后得出商。这和（3）中的思想很类似，但在日本难得发现，可能因为学生有一个印象，只有当被除数和除数是整数时才可这样表示，我希望更多的学生能用这种表达式来求商。

    （5）运用数轴

    在日本也用数轴来学习数和数的运算。不用说，数轴是一种数的模型，也可用来学习运算。日本的一些学生选择适当的运算时用它。它对于发现运算结果一――积或商是很有用的。

    我们期望学生能够从他们已学得的知识中发现商的步骤。我不希望教师解释它，而让学生自己发现，但这并不容易。要能发现商，小学生必须非常熟悉分数与除法的基本性质。学习分数除法前才提出这一知识已经太晚了。教师们必须早在学习大数和小数的除法时已经强调过，让学生熟悉这些性质以便在任何时候可以使用。教师的任务和作用就是希望学生发现商。

    2．发现负数相乘的乘积。

    教负数的乘法和分数的除法是一样的。我们能够从学生已有的知识中发现负数的乘积和步骤。

    （1）建立乘法表

    （2）使用分配律

    像学生很容易知道（－1）× 1 =（－1）一样，学生们能够利用分配律来发现负数的乘积。

    （－1）×{（＋1）＋（－1）} = 0

    （－1）×（＋1）＋（－1）×（－1）= 0

    （－1）＋（－1）×（－1）＝0

    所以（－1）×（－1）一定是＋1

    我想这个方法对小学生来说太数学化了，很难发现。

    （3）利用数轴

    数轴在发现负数的乘积时也是很有用的。乘法在数轴上表元如下图：

    如果我们把数轴扩展到负数，就能发现乘积如下图：

    以（－1）×（－1）为例，构造第二条数轴，刻度1标在第一条数轴的被乘数（－1）的下面。可以发现乘积在第一条数轴上，正好在乘数（－1）的上方

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