首都师范大学数学系 朱文芳
数学教育实践至少要与三个学科的发展紧密相连，这就是数学、教育学与心理学。因此，数学教学为什么要增强应用意识，我们也可以从以下几方面来寻找原因。
一、数学本质的演变
（一）古希腊时期
在希腊人将数学发展成为抽象化科学之前，古代文明中几乎没有有意识的抽象思维，没有一般的方法论，没有证明甚至直观推理的想法。有的只是关于整数、分数的算术，初步的代数和一些几何的经验公式。此时，数学在形式上只是一些无联系的简单法则，是一种用于解决人们日常生活中所碰到的问题的工具。
从公元前六世纪开始直至今日，希腊人那种坚持要用演绎证明去寻求真理的特征，仍然是数学科学的一个重要性质。也许，正是因为希腊人看到了人类仅凭经验、归纳、类比和实验获得知识的局限性，才使希腊人创造出了世界上的瑰宝──欧几里得的《原本》。这本使逻辑结构浑然一体的经典之作，日后成为现代科学的基础。
（二）文艺复兴时期
约从公元400～1400年期间，数学科学并无多大进展。其主要原因是人们对物理世界缺乏兴趣，更多的是对宗教的信仰。直到十五世纪──文艺复兴时期，由于知识分子要为知识的建立寻找坚固的基础，而古希腊数学家柏拉图（Plato）、毕达哥拉斯（Pythagoras）等人的著作中所表示的数学知识的明确性，以及确定无疑的特征，使得像开普勒、伽利略、笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等科学家，在他们各自的著作中确立了这样的原则：科学的最终目标是确立定量的数学上的规律。于是，数学成为唯一被大家公认的真理体系。人们又把寻求真理的努力引向数学。
随后，倡导科学方法改革的一个有影响的人物──弗朗西斯・培根指出，由演绎推理发现的公理（他所谓的“公理”是指一般性命题）是不能用来得到新的发现的。知识应从观察开始，他坚持用“逐步的和继续不断的归纳”来代替一般结论。这种思想被16世纪以后的数学家所接受，数学研究开始转向自然并重视经验事实，重视理论与实践的相互结合。这种思想方法上的转变很快就促进了算术与代数的发展。
特别地，由于实际生活与科学研究的需要，要求人们得出数量上的结果；与此同时，代数中引用了较好的符号体系一步，这使得代数有可能成为一门科学。这一成就使人们认识到，代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。笛卡儿就是看到了代数的这种巨大潜力，即他认为代数使数学机械化，因而使思考和运算步骤变得简单，而无需花很大的脑力；把代数看成是进行推理──特别是关于抽象的和未知的量进行推理的有力方法，就有可能使数学创造变成一种几乎是自动化的工作。对笛卡儿来说，代数事实上居于数学其他各分支的最前列，它是逻辑的引申，甚至比几何还具有更根本的意义。就是说，在逻辑次序上它领先于几何。
这些观点极大地促进了代数学的发展，并使之最终成为与几何并驾齐驱的学科。但当数学家们运用直观、归纳，边做边改地进行代数学的研究时，足以同欧几里得几何相媲美的代数的逻辑基础却并不存在。可是，这并没有妨碍人们走在正规化和逻辑基础之前自由地进行着创造。而且，事实表明，从希腊时代到1600年，由于几何学统治着数学，使得数学的发展受到了束缚。笛卡儿所建立的解析几何冲破了这一束缚，才使得代数变得比几何更为重要。
（三）近代数学的发展
17～18世纪，函数、微积分与无穷级数等一系列新概念进入了数学的研究领域。但是，直到19世纪，上述一系列问题研究的逻辑基础都是不严密的、甚至是不清楚的。那么，数学家是靠什么来进行工作的呢？一个最主要的依据就是运算法则是清楚的。把实际问题用数学形式表达出来之后，数学家就去研究问题的解法与问题的结论。由于数学本身肯定是纯形式的，所以只要对公式进行演算就可以得到结论。数学家靠着数学的物理意义引导着数学的步骤，而且时常用物理意义提供部分论据，例如在推理过程中使用一些从图形看来完全是显然的事实，在物理上正确的结论保证了它在数学上也能被接受。同时，由于代数学符号体系的日趋完善，使人们对符号的信任远远超过对逻辑的信任。也就是说，数学与自然的结合所取得的辉煌成就，使数学家容忍了数学所失去的严密性。这一点表明，数学的严密化的标准不是一成不变的。也许正是由于放松了对逻辑严密性的要求，才使得人类的创造天赋得到极大的发挥。
这一时期数学的发展表明，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的另一本质是它对现实世界的相对独立性，即一种数学理论一经建立，人们便可在不受外部影响的情况下，仅靠逻辑思维而将它向前推进。也就是说，数学的内在逻辑需要也是推动其发展的动力。这一点可由非欧几何的诞生得到证实。
进入19世纪后，代数与微积分等的逻辑基础问题变得日益尖锐。与此同时，虽然解析几何改变了几何学的研究方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容，欧氏几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。直到1800年，所有的数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的正确理想化。认为它具有以下特征：概念清晰、定义明确；公理数目少、直观可靠而且普遍成立；引出量的方式易于接受；证明顺序自然，避免未知事物，等等。很多数学家想把逻辑基础模糊的算术、代数和微积分建立在欧氏几何之上以保证其真理性。但是，19世纪所有复杂的数学创造中最深刻的一个──非欧几何的诞生，彻底摧毁了欧氏几何的神圣地位，迫使数学家们从根本上改变对数学的本质，以及它与物质世界的关系的理解。所有这一切表明数学既可以从内部需要产生，也可以来自外部应用。这一点在20世纪得到了进一步的验证。
（四）20世纪以后
20世纪以前，数学主要是各分支如算术、代数、几何和分析等经典学科的集合。20世纪以后，数学已成为分支众多、庞大并且仍在继续急剧变化之中的知识体系。为此，需要重新描述数学的本质。当代数学史学家认为，可以从纯粹数学与应用数学的角度来看待20世纪数学的本质。
那么，何为纯粹数学与应用数学呢？所谓纯粹数学主要是指研究数学本身的内部规律，暂时撇开具体内容，而以纯粹形式研究事物的量的关系和空间形式的数学，如算术、代数、几何和分析等经典学科；所谓应用数学主要是指研究从自然现象、社会现象等的研究中产生的，着眼于直接解决实际问题的数学，如最优化理论、应用统计等学科。
由此可知，纯粹数学与应用数学在研究的动机、态度、方法以及满意的标准方面是不相同的，但二者之间又是紧密相联的：对纯粹数学来说，应用数学是它的一个重要源泉和灵感的来源；对应用数学来说，纯粹数学为其提供了发展的思想方法。
然而，20世纪以前，二者的发展是极不平衡的。我们可以看到：从古希腊开始，纯粹数学一直占据数学科学中的核心地位（被称为核心数学）。因为对概念更为抽象、严谨的定义的追求；对命题更为简洁、完美的推理论证，使数学家认为，远离短期内有直接明显应用价值的纯粹数学才能体现数学的真谛；只有纯粹数学才是真正的人类思想的自由创造物，数学为其他科学提供了必不可少的语言与框架。虽然对纯粹数学来说，应用数学是它的一个重要源泉，而且现在仍然是纯粹数学灵感的经常的来源──但是，那不是绝对必需的；纯粹数学的概念和演绎法才是对客观世界的真理的一种强有力的启示，所以它成为一种认识世界的工具，一种改变世界布局的计划。
进入20世纪以后，这种状况发生了根本的改变。数学以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，再加上电子计算机的推波助澜，使得数学的应用突破了传统的范围，正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军，乃至向人类几乎所有的知识领域渗透。现代数学在向外渗透的过程中，还产生了一些相对独立的以数学理论与方法为基础的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等等。而且，与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合，形成了一系列交叉学科，如数学物理、生物数学、数理经济学、数理语言学、数理心理学、数学考古学等等，它们的数目还在增加；不仅如此，数学几乎所有的分支都获得了直接应用，甚至最抽象的一些分支也参与了渗透，如拓扑学、数论等，在凝聚态物理中及液晶理论中用到的是代数拓朴学的知识，数论已经在密码技术、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的作用；现代数学对生产技术的应用也变得越来越直接，从根本上改变了以往数学与生产技术间接关系的局面。
所有这一切都使得数学本身的性质正在经历一场脱胎换骨的变革，其创新性与激动人心的程度丝毫不亚于生物学和计算机革命。也就是说，20世纪数学的迅猛发展改变了数学原来的面貌，使人们对“数学是什么”的认识有了深刻的变化，数学空前广泛的应用性特征，使我们进一步思考数学抽象理论与客观现实世界之间的深刻、复杂而又奇妙的联系。让我们看到数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分和任何自然科学是一样多的。从某种意义上看，可以说数学的抽象性、逻辑性是对数学的内部而言的；数学的应用性是对数学的外部而言的。人类认识与理解宇宙世界的变化，显然应该从同一核心（数学）出发向两个方向（数学的内部、数学的外部）前进，因此，数学教育应该增强应用意识，改变数学教育只重视数学内部发展需要的倾向。
二、数学成为教育内容的理由
（一）数学是培养人的智力的最好学科
数学科学完美的逻辑演绎特征，使得古希腊数学至今还依旧像两千年前一样有效，牛顿与莱布尼兹的微积分存在了300年而没有本质上的更改。就这两个实例而言，虽然我们今天对它们的基础有了更好的理解，但其本质的真理性却从未受到认真的怀疑。与此相反，自然科学的理论却前途未卜，它们也许会像地球是平坦的观念那样被完全抛弃，或像爱因斯坦的引力理论替代牛顿的理论那样被修正与取代。数学的这种特有的“终极性”，使得许多学科试图借助数学的思想方法来增加自己结论的分量，即用数学的逻辑威望来支撑自己的观点。
数学在科学发展中的这种特殊地位，与数学的确定性有关。而数学的这种确定性与纯粹数学跟现实世界的分离直接有关。也就是说，数学的威力来自它的另一个与众不同的特点，即数学的独立性。这种独立性，使得它与实验科学不同。数学不需要昂贵的仪器，它是一门便宜的学科。所需的一切只是笔和纸，甚至这也是可有可无的，阿基米德就在沙盘上画图！许多伟大的数学家在极为艰难的环境中创造出了他们的杰作。数学的要求极有限，它并不需要藏有古代手稿的大容量的图书馆；不像社会科学，它在很大程度上独立于政治与社会系统，它曾在各式各样的政体下蓬勃发展，并且还会继续繁荣。这种与经济政治因素（相对）的独立性导致数学在智力方面的完全独立。
因此，在教育关注学生的智力发展时，数学科学就显示出其他自然科学所无法比拟的优势，理所当然地成为教育的主要内容。也就是说，数学科学是以它能够提供发展学生智力和才能的良好素材，尤其是能够训练学生进行抽象思维方法而成为教育的内容的。例如“数学是思维的体操”“数学是智力的磨砺石”等说法，就是上述观点的代表。
事实也已证明，的确如此。数学是发展学生能力、开发学生智力的最好学科。因为通过数学的教育，我们不仅造就了一批又一批杰出的思想家，同时，也使得接受数学教育的人的智力发展水平得到了普遍的提高。特别是在当今科技发展的时代，教育中将数学科学视为发展学生智力的主要学科已没有任何争议。
（二）数学内容的实用性
数学从它萌芽之日起，就表现出具有解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。商业、航海、历法计算，桥梁、房屋的建筑，武器的设计等，数学往往能对所有这些问题作出令人满意的解决。现代社会生活中，数学的直接应用更是大量与经常的，例如，时间的估计、钱财的计算等；从事各种职业的人们为了工作或把工作做得更好，可能需要简单的十进位算术的计算技能，也可能用到微分求极值这样复杂的内容。
特别是进入21世纪以后，由于社会的进步，科技的发展，要求教育不仅要开发学生的智力，而且要着眼于学生适应当前和未来生活的需要。因此，与日常生活、社会实践紧密相连的数学的实用性一面，也就体现出来了。所以，数学内容所具有的这种实用性特点使之成为数学教育的重要组成部分。
（三）数学教育的倾向
本世纪以前，数学家对待纯粹数学与应用数学的不同态度，也反映到基础教育的数学方面。即长期以来，受数学家一直追求纯粹数学研究的影响，数学教育发展史所表现出的也是以经典纯粹数学为主，认为大多数世间数学千变万化的应用的根源就在于数学的高度抽象性与严密的逻辑性，并将纯粹数学当作了数学教育的核心。因此，数学教育的基础内容往往选择体现数学是高度抽象与逻辑严密特点的内容。也就是说，这种选材观暗含着数学广泛的应用性不过是其高度抽象性与逻辑严密性的一个必然结果而已。于是，才有数学教育所津津乐道的数学在发展学生逻辑思维能力方面优势的结果。
对于数学教材内容组织体系的要求也是如此，从教学大纲到教材，以及课堂教学过程中，数学内容的取舍、编排顺序都是以数学的逻辑体系为主线展开的；所列举的实例是为了帮助学生领会、理解抽象的数学概念的；理论之后的简单应用是为了验证逻辑演绎建立起来的数学理论的威力的，即为了让学生知道数学理论的来龙去脉的。
数学教学科学合理结构的要求实质上就转变为数学内容组织的系统性与逻辑性的问题，数学教育的目的之一也是希望通过对这种系统性、逻辑性内容的教学，来让学生认识数学、理解数学的本质，并由此来发展学生的逻辑思维能力。因此，从对广大学生进行数学的普及教育以来，数学的应用基本上没有得到应有的重视。基础教育中不是把应用数学作为数学的一个不可分割的组成部分来看待的。许多情况下，与纯粹数学的内容相比，应用是辅助性的。数学教材中一定量的“应用题”的作用仅仅局限于为巩固数学知识技能，为培养能力（运算能力、思维能力）等服务的目的。
例如，以往每教学完一部分计算知识，就编制一些应用这样知识的题目，让学生熟悉知识，了解知识用途；为培养学生的思维能力，应用题的编排是由易到难，先一步计算的，再两步、三步计算的；把应用题适当归类，概括解法等。这种将数学的应用意识只体现在解决这样的应用题的做法，是远远不够的。
20世纪以后数学的发展表明，应用数学是数学科学有机整体中一个不可缺少的部分。作为教育的基本组成部分的数学教育应该体现这种精神。这样，就必然得出数学教育改革的一个重要发展方向，就是要增强应用意识。例如，在数学课程的改革中首先就要解决选取什么样的数学内容作为教学内容，才能使之跟上数学科学的发展。不仅要从数学具有的高度抽象性、逻辑严谨性上，而且要从数学具有的广泛应用性上来说明数学学科的作用，特别是它在教育中的对人的发展的重要作用。
数学教育既要重视越来越抽象的纯粹数学创造的许多高度抽象的语言、结构、方法与理论，也不能忽视已经成为其他科学技术和人类生产与社会实践中普通适用工具的应用数学的发展。我们要通过应用数学本身的发展所提供的丰富素材来培养学生的应用意识，使之看到数学的普遍应用性特点。要使学生了解数学的结果──定理和理论不仅重要，而且有用。通过各种生动、真实的应用数学实例，使学生体会数学有特色的思考方式，包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断以及运用符号等，使学生了解数学能够帮助我们更清晰地认识我们生活在其中的这个充满信息的世界，深刻地理解数学的价值。
三、大众教育观对数学教育的影响
按照当代大众教育的观点，教学必须填平学生兴趣、经验与学科体系之间的鸿沟。学生的经验和文化是数学学习的基础，教育应该从学生的兴趣和文化开始，在此基础上向学生需要的学科体系上发展。对于这一点，应用数学正好可以成为学生兴趣、经验与学科体系之间的一个桥梁。因为学生的兴趣、经验是以现实为依托的，而应用数学比纯粹数学离现实更近、更真实，应用数学问题的背景、情境，使学生更容易接近，更容易体会、感受。数学教育增强应用意识可以避免教学只注意灌输，把学生看作是一个接受知识的容器，成为被动的学习者的局面。
也就是说，应用数学的教育作用就在于，通过给出其重要性能够被学生认识的问题以鼓励学生的学习愿望。当学生不知道“这个东西有什么用”时他们很难有兴趣学习它。一旦理解了某个基本理论的重要性时，学生就会开始给予真正的关注，主动地参与。因为真实的实际问题能够吸引学生自己去探索，学生可以在解决应用问题的过程中，感受到一切知识都有文化局限并赋有价值，学生用他们自己的语言去阐述和解释，学生通过体验的方式来理解，虽然不精确，但总比精确而不理解其意义更有助于学生的发展。
以往数学教学由于过多地以学科的逻辑体系为主线来展开，同时考虑到学生的心理发展、年龄特点，为贯彻可接受性的教学原则，常常将抽象的数学知识分割为间断的部分，并作人为的简化处理。各种人为编造的数学问题，就是这样教学的典型。这种知识，让学生感到陌生，不能使学生认识到数学与其他领域，以及他们所生活的现实社会紧密相关。即不能使学生认识到数学知识是建立在人类活动和探究基础上并与之相联系的，数学知识也是社会的、变化发展的。
从这个意义上看，应用数学知识不仅能够提供得到认识及思考工具的方法，探索发现问题、解决问题所需的基本知识技能，而且在学生掌握这些知识技能的基础上，最终使问题得以解决。也就是说，由于应用问题的真实性，可以避免数学教学脱离现实情境的状况，容易使学生建立起对所学内容的兴趣，有利于学生对数学的认识。学习数学并认识其作用，而不是把数学当作脱离日常生活、社会实践应用的技能来学习。这样的教学才会有利于学生学会分析数学的外在价值是如何演变为数学符号、规则和过程的，以及使学生能够认清隐藏于数学的形式符号之后的事物的本质和价值。
也就是说，我们可以通过数学教学增强应用意识的途径，即通过引进大量的生活实践、科学技术发展的数学问题，来使学生了解和感受数学的价值，从而积极主动地进行学习。
四、应用数学为建构主义学习观的实现提供了广阔的空间
（一）丰富的应用数学内容弥补了数学学习心理研究的薄弱
传统教育中，由于我们过多地关注一些“非此即彼”的知识，因此数学教育中有一个关于“教与学的三角形”的提法。即指“教什么”“教谁”“如何教”。数学教育实践过程中，对“教什么”“如何教”甚至“为何教”等研究较多。例如，“教什么”一般认为可以分为两步来做：（1）讲事实；（2）讲如何得到的事实。对“如何教”呢？也有许多系列教学方法的研究，如讲解法、发现法、讨论法等等。为何这样教呢？也能寻找到一系列数学教育学上的依据。唯独对看似明确的“教谁”（以为不就是教学生吗？）研究较少。
例如，在数学教育中由于数学学科的抽象性与逻辑性特点，使数学科学的表达越来越追求形式化、符号化，这一点对于基础教育的学生来讲，经常感到所学习的数学内容过于抽象、晦涩、难懂。为了减少学生数学学习的难度，数学教学过程中，采取了一系列的教学原则，如可接受性原则、量力性原则、“跳一跳够得着”等。贯彻落实这些教学原则的一个首要前提就是，应该正确地估计学生各方面的实际发展水平，而事实上，我们广大的数学教育实践者是如何确定学生的发展水平的呢？如果说对学生的知识、技能的了解还算客观的话（主要通过考试、测验的方式获得），那么对于学生的能力发展水平及态度、情感非智力因素的发展水平，则完全是凭经验的主观推断了。这种主要依赖于教师的主观经验来评价学生的发展水平的做法，常常导致对学生某些方面的发展水平的限度估计不足，或者超出了学生实际发展水平的问题。
21世纪基础教育课程改革的基本理念是“以学生发展为本”。“以学生发展为本”的基础，显然应该是以学生心理发展规律为依据的。但我们对学生的语言、思维、非智力因素等内部因素的发展水平，以及影响学生发展的外部环境等规律的探索尚处于初期阶段。也就是说，由于我们对学生数学学习心理研究刚刚起步，使得我们在实现“以学生发展为本”的教育观念的过程中，具有边实践、边探索学生发展规律的双重任务。
借鉴教育心理学的研究成果，建构主义的学习观给我们提供了一条值得探索的途径。建构主义认为：学习并非是对外部信息的被动接受，而是一个以其已有的知识经验为基础的主动建构过程，而且建构活动要在一定的社会环境中进行，即学习具有社会意义。
另一方面，考虑到现代科学技术的飞速发展，使得学生的生活环境、社会环境与过去相比有了较大的变化。科学技术的发展使学生的生活质量得到了普遍的提高，并使之感受到科技成果为人类所带来的益处；同时，报纸、杂志、电视、广播及计算机网络等多种大众传媒的普及扩大了学生获得信息的渠道，开阔了学生的视野，丰富了学生的经验与文化。因此，数学教育的改革不应忽视这些对学生发展具有重要影响的方面，而应借助这些方面来提高数学教育的质量。
此时，应用数学的优势再次显露出来。从应用数学所处理的诸如计划长途旅行之类的日常家务事到诸如航空运输计划，从投资业务的管理之类的重大管理问题到科学中的各种各样的数据、测量、观测资料等，都可以使学生领略到数学的领域虽然不像生物学中的分子或细胞那样生动，但是作为数、机会、形状、算法和变化的科学，它同样对人类具有重要意义。适当增加应用数学的内容，还可以作为激发学生的学习动机，提高其学习的主动性和积极性的有益尝试，它是避免数学教学中的知识灌输，把学生仅仅看作是一个接受知识的容器、被动的学习者的一条可行途径。这样一来，学生就可以通过借助于观察、试验、归纳、类比、概括等手段来积累学习数学的事实材料；通过由事实材料中抽象出概念体系，以及由此而演绎地建立起对数学理论的认识；当然也经历了数学理论是如何应用的过程。这样的学习过程才符合建构主义对学习的认识。
（二）提高学生学习的主动性
具有特殊性的学生的学习与人类认识客观世界的过程有所不同的是，学生的学习是在有计划、有目的和有组织的情况下进行的。如必须在有限的时间内完成，并达到社会的一定要求，需要在教师的指导下实现，等等。而且，学生的学习过程是主要掌握间接经验的过程，并主要以间接的形式来经验的。为保证能在较短的时间内，帮助学生学会学习，完成掌握前人经验和建构自己的认知结构的学习过程，教育者常常采用一些特殊的方法（所谓的教学方法）来有效地组织教学。这样一来，学生的学习就具有一定程度的被动性。这种被动性经常导致学生意识不到他当前的学习与将来的生活实践的关系。
应用数学更多地走进基础教育阶段的价值就在于，它有可能使学生在两个方面──从情境到提出问题和从提出问题到解决──得到实际的发展。同时，因为大多数人学习数学的目的不仅仅是为了领会或理解数学，更主要的是为了使用数学。当把信息和提供信息的方式结合起来，把传统的基础知识与挑战性的概念一起提供给学生时，就有可能使学生对数学学习有了热情。应用数学正是具有这种性质的内容，通过这种内容的教育教学，可以调动学生的积极性和主动性，使得学生在摆脱被看作是知识的软弱被动接受者的“堆积式”教育时，体验到在数学学习的过程中依靠自己的力量，也能够成功地解决有实际用途的问题。而且，这样的教育内容还有利于关注学生态度情感领域的发展，如激发学生学习数学的兴趣、增强学生学习数学的信心；通过了解应用数学在社会生活中的作用，端正数学学习的态度；通过感受数学在科学技术发展中的作用，主动地锻炼刻苦钻研的意志品质、培养自我克服困难等一系列良好的心理品质。
虽然，应用数学的内容有可能增大学习的难度，但也许正是这种挑战性使得学生和老师成为共同的问题解决的探求者，为学生彼此之间合作、交流提供了广阔的发展空间。因此，在我们强调培养学生学习的主动性，以及培养学生的探索精神方面，应用数学比经典的纯粹数学具有更可开发的前景。
（三）情境性教学
如果本着教学有利于学生发展的精神，提倡情境性教学的话，应用数学就能够在基础教育的数学教育方面发挥更大的作用。因为把应用数学的有关内容当作学习的内容，可使一些问题解决的选材成为真实性的任务，当然就可使学习在与现实情境相类似的情境中发生，虽然任务本身具有复杂性，但它同时具有挑战性，它比起简化了的学习内容更容易激发起学生学习的内部动机。如果以解决学生在现实生活中遇到的问题为教育目标的话，由于学生了解真实性任务中自己所要解决的问题，有主人翁感。同时，更由于解决了问题本身就是对学生最好的奖励，这样就可以满足学生的好奇心、求知欲，担负起调动学生积极性的重任。
与此同时，在运用已有数学知识解决实际问题时，由于存在着概念的复杂性和实例间的差异性，任何对事物的简单的理解都会漏掉事物的某些方面，而这些方面在另外一个情境中，从另外一个角度看时可能是非常重要的。所以，应用数学内容的教学可以避免抽象地谈数学概念的一般运用，可以把数学概念具体到一定的实例中，并与具体情境联系起来，它更有利于学生对抽象数学理论的理解。因为真实丰富的实例可以成为每个数学概念教学充分的变式，自然地说明概念不同方面的含义，而且各实例都可能同时涉及到其他概念。这样的学习能使学生形成对数学概念的多角度理解，形成与真实情境相联系的背景性经验，有利于学生针对具体情境建构能够解决问题的方案。也就是说，由于应用数学为数学教育提供了广阔的真实性任务的背景，它可以成为我们进行情境性教学的重要源泉。在建构主义教学观要求我们一方面要为学生提供建构理解所需基础的同时，又要留给学生广阔的建构的空间，让他们针对具体情境采用适当策略的时候，应用数学的丰富素材可以大有用武之地。
总之，由于当前数学教育的资源，无论从外部环境（教育与心理学的发展、社会环境等）还是从内部环境（数学本身的发展）看，都较以往有极大的变化，那么建立在今天这样如此丰富的数学教育资源（拥有广泛多样的实际材料、真实材料，甚至新兴学科）基础上的数学教育实践，为什么不改变以往的教育观念，采取更多变化、主动的教学方法，以使学生的数学学习有更多的社会参与性，从而更有利于学生自主支配地、有效地进行学习呢？在此过程中，增强应用意识就是数学教育改革值得探索的一条新途径。