一堂毛病多多数学课　　

   《小学教学研究》2010年4期刊有《根深才能叶茂》一文，作者谈了他让学生完成对“对称”这一数学概念建构的教学感受，同时举出了三个“教学片段”以证明其观点。三个“教学片段”连起来正好是一堂以”对称“为内容的数学课的教学实录。仔细阅读三个“教学片段”，发现不少毛病。这些毛病，涉及的是数学基本概念和方法。数学概念、方法之类不准确，有错误，数学教学就难以取得好的效果。下面就其中的一些问题提出自己的看法。　　

一、“对折”无法折　　

在讲折叠图形时，第一个“教学片段”用的是“折一折”，可是接下去就全用“对折”。学生说的不算，教师讲的就达六次之多。什么是对折？《辞海》未收录这个词条，《现代汉语词典》解释为：对半的折扣。这是讲折扣，没有涉及折叠。用百度搜索，《百度百科》有两个义项：一个是：按一半打折扣，五折，跟《现代汉语词典》的解释大体一致。另一个解释是：相对折叠起来。什么是“相对折叠”？没有下文，但提供了一个例句：“何大妈猛然地坐起身，披了衣服，伸手在枕头下面，摸出那个对折起来的大红封套。”（茹志鹃《高高的白杨树・如愿》）从这一例句看，折叠的对象是大红封套。这“大红封套”应该是个正方形或长方形的套子，也就是折叠起来两部分能完全重合的事物。据此，我揣想，所谓“相对折叠”应该是让两部分完全重合的折叠。照这样理解，那么“对折”这个词就只能适用于两部分能完全重合的图形或事物。教学时，取“让两部分完全重合的折叠”这个意义，那么在尚未确定折叠对象是否能全重合的情况下就不能使用。第二个“教学片断”，学生在谈了自己的发现之后，老师接着说：“对折后，两边完全一样，一点不多，一点不少，我们就说这两边完全重合。”在尚未确切说明两边能完全重合之前，老师就急着使用“对折”，显然是操之过急了。　　

不仅如此，就在已经明知折叠对象是能够完全重合的情况下，使用“对折”也出现了纠缠不清的问题。第二个“教学片段”，老师有这样的话：“像这样对折后，两边可以完全重合我们说它们是对称的。”既然前面已经用了“对折”，就意味着折叠对象两边是可以完全重合的，随后又说“两边可以完全重合”，且不是多余累赘？　　

既然“对折”只适用于明知折叠对象两部分能完全重合的情况，自然就不能用于两部分不能完全重合的折叠，可是老师照用不误。第三个“教学片段”有这样的环节：学生提问：“为什么把长方形斜着对折起来，它不是对称的？”老师说：“你看，沿着这条线对折后，它的两边……（学生：不一样）沿长方形对角线折叠，两边肯定不能完全重合，可老师还是用了“对折”。这里的“对折”已经是与“折叠”同义了。　　

从教学片断使用“对折”的混乱情况看，可以断定教者对这个词的理解是模糊不清的。　　

用来表示折叠的“对折”，口语中很少用，权威辞书没有收录，网络解释费解而又不具权威性，不足为据。我猜度，是教材编者编写教材时随意用上的，“对折”究竟是怎样一种折叠方式，连编者自己也不甚清楚，所以直到现在，“教参”和“教材使用说明”之类的教辅资料也不见解释。而一线教师绝大部分是机械照搬，究竟怎么折才是“对折”，自己也不清楚，十有八九使用不当。当教学进入判断图形是否对称阶段时，面对非对称图形，老师和学生都无法“对折”，出现尴尬局面在所难免。其实，我认为，教学时与其囫囵吞枣盲目照搬，不如弃之不用，就用“折叠”好了。折叠，通俗易懂，学生也非常熟悉。用“折叠”可以减少许多解释和示范，使教学推进更为顺利，可以留出更多时间让学生动脑动手自主探究。　　

二、“对称轴”虚实不分　　

第二个“教学片段”，老师对“对称轴”作了这样解释：“这条折痕很重要……我们把这条折痕所在的直线叫‘对称轴’。”照这么说，对称轴就是一条实际存在的直线了。真是这样吗？不是。《辞海》的解释是：“对称轴是帮助观察对称图形对称特点的一根假想直线。”对称轴只是一条假想的直线，并不存在于现实中。可老师这么一讲，学生就会觉得对称轴是可以观察得到的。这是对学生认知的误导。对称轴，我觉得可以这样来解释：我们假想有一条直线正好与这条折痕重合，并把它叫做对称轴。这样解释可以避免随后学生判断图形是否对称时，走上歧途。　　

三、“判断”方法难判断　　

第二个“教学片段”，教师问学生，要判断一个图形是不是对称的可以怎么做，第一个学生说：“只要看找不找得到它的对称轴就行了。”第二个学生说；“只要看对折后能不能两边一样。”老师接着说：“看看有没有一条折痕，对折后两边完全重合，对吗？”第一个学生的说法是完全错误的。第一，要断的图形不应该只有对称图形，非对称图形根本没有对称轴；第二，就是对称图形，对称轴也是看不见的，怎么能找到？老师说的找“折痕”也不行。别说非对称图形，就是对称图形上，一般也不会有什么“折痕”，更别说这“折痕”是否恰好与对称轴完全重合了。“折痕”是折叠之后才出现的，怎么能先找到折痕，然后再折叠呢？而且要把“折痕”看成对称轴，首先要确认图形两边能够完全重合。这样一来，等于先确认图形两边是能够完全重合的，然后找出折痕，最后根据折痕折叠，从而判定图形是对称的。这简直把判断图形是否对称的逻辑顺序弄颠倒了。而且，要判断的图形还有非对称的，这就更难找到什么折痕了。这样的方法是绝对行不通的，勉强使用，也不可能对图形做出准确的判断，把对称图形和非对称图形区别开来。判断图形是不是对称的，其实方法很简单：先看图形有没有相似的两部分，如果有，再用将相似两部分靠拢的方法折叠，如果两部分能完全重合，这个图形就是对称图形。如果图形找不出相似的两部分，或者有相似的两部分，但用将相似两部分靠拢的方法折叠后不能完全重合，这个图形就不是对称图形。要是只判断图形是不是对称的，这样就可以了。要是想进一步判断图形是不是轴对称图形，那就还得加上一条：折叠后，如果图上有一条折痕，我们可以假想它就是对称轴，这个图形也就是轴对称成图形了。　　

四、“共同特点”似是而非　　

第一个“教学片段”，教师在出书示蝴蝶、蜻蜓、树叶、热带鱼图片让学生辨认之后，要求学生“再仔细看一看这些图形有什么特点”。这里用的“特点”准确无误。特点是人或事物具有的独特地方，抓住了特点就揭示了事物的本质属性，明确了概念的内涵，对事物产生清晰的认识，能有效地把事物区别开来。学生通过动手发现了图形的特点，也就明白了什么是对称及对称图形了。　　

然而，遗憾的是，进入第二个“教学片段”，教师却改口说：“你发现这些图形有什么共同特点？”共同点是一类事物共有的地方。一类事物的特点一定是这类事物的共同点，而共同点却未必就是特点。认识事物只能探寻其特点，无须寻求共同点，把特点说成共同点是概念错位；把特点说成“共同特点”是画蛇添足，用“共同”来限制“特点”，概念的内涵变得含混不清了，难以理解。　　

五、“图形”缺失成误导　　

第一和第二个“教学片段”是要让学生认识“对称”，为此先要让学生通过探究发现对称图形的特点。可是教师出示的图形都是对称图形。研究同一类事物，能到它们共同点，但未必能找到它们特点。有比较才有鉴别，仅仅研究同一类事物，不一定能发现事物的特点。即使真的发现了，那也只是一种偶然。这样的研究方法不值得提倡。如果学生误把偶然当必然，无意中接受了这种不科学研究方法，应用时免不了要走弯路。因此这一阶段出示的图形既要有对称，也应有非对称的，这样才能让学生通过观察和动手操作，在对不同事物的比较中发现对称的特点，从而“完成对‘对称’概念的建构”。　　

上面谈的都是关于对称、轴对称等小学数学教学涉及的基本概念和方法，教学时，教师首先要做到心中明白，不仅如此，还要让学生有清晰的认识。但是，遗憾的是，我所见到的教学设计和课堂活动，几乎都有概念不明确，方法不正确等毛病。看来“对称”这一内容可能是小学数学教学的一大难点。所以想借评析《根深叶才茂》“教学片段”之机，抛出自己的一些看法，希望能引起同行的注意和讨论。　　

《根深叶才能叶茂》“教学片段原文；　　

【教学片段】1　　

出示蝴蝶、蜻蜓、树叶、热带鱼的图片。　　

师：同学们，这些图形是什么？　　

生：它们分别是蝴蝶、蜻蜓、树叶、热带鱼。　　

师：同学们，在仔细看一看这些图形有什么特点。　　

生：它们有的左右两边是一样的，有的上、下是一样的。　　

生：它们是对称的。　　

师：同学们观察得真仔细，说得不错。把你们手中的图片折一折，有没有新的发现？和同伴说一说。　　

【教学片段】2　　

师：（学生动手探究后）你发现这些图形有什么共同特点？　　

生：它们两边都是一样的。　　

生：（边演示边讲）对折后，就看不到另外一边了，他们两边都是对齐的。　　

师：（师范对折）说得好！对折后，两边完全一样，一点不多，一点不少，我们就说这两边完全重合。（板书：完全重合）　　

师：这些图形对折后真的完全重合吗？我们一起看一看。（CAI演示：对折后完全重合的动画）　　

师：像这样对折后，两边可以完全重合我们就说它们是对称的。（板书课题：对称）接下来，我们一起玩一个猜一猜的游戏。　　

师：（教师分别出示青蛙的一半、飞机的一半）你们知道它是什么吗？　　

师：（学生回答后）这连个图形是对称的吗？　　

生：图形对折后两边完全重合就是对称的。　　

师：你说得真好！同学们想一想怎样剪出一个对称图形呢？　　

学生回答后，教师示范，每个学生动手剪一个对称图形。　　

师：（展示学生作品）同学们思考这些图形是对称的吗？为什么？　　

生：不完全是，因为有的对折后两边不能重合。　　

师：如果换个方向对折呢？　　

生：上下对折，两边就重合了！　　

师：那说明，这条折痕很重要！如果找到了这样一条折痕，对折后两边完全重合，就说这个图形是对称的；如果没有这样一条折痕，怎么对折两边都不能重合，这个图形就不是对称的。我们把这条折痕所在的直线叫“对称轴”（画蝴蝶的对称轴，并板书）　　

这条热带鱼的对称轴在哪里？（生上台指，师示范画对称轴，强调用虚线）　　

师：也就是说，要判断一个图形是不是对称的，可以怎么做？　　

生：只要看找不找得到它的对称轴就行了。　　

生：只要看对折后能不能两边一样。　　

师：你的意思是：看看有没有一条折痕，对折后两边完全重合，对吗？　　

生：对！　　

师：大家已经知道了什么是对称图形，能不能动动脑，剪出一个对称图形呢？　　

【教学片段】3　　

师：长方形有几条对称轴？　　

生1：（演示）可以竖着对折，还可以横着对折，一共有两条。　　

生2：对！只有两条（其余学生也附和）　　

生3：老师，我想问：为什么把长方形斜着对折起来，它不是对称的？　　

师：（示范）你看，沿着这条线对折后，它的两边……　　

生（齐）：不一样。　　

师：对了，两边不能重合，所以它不是对称轴。明白了吗？　　

（生3顺从地点点头，坐下了）