提起数学，人们会立即想到书本上那些公式、定理，感觉到的往往是它的枯燥、乏味。可你也许不知道，数学中蕴含着无穷的魅力，有着使人着魔的趣味。
数学是自然科学的语言，是书写宇宙的文字，同时又与我们的生活息息相关。比如，几何学上的黄金分割，神奇的圆周率，音乐中的八度音阶，诗词中的平仄、韵律，孕育生命的双螺旋曲线，经济学中的最佳回报公式、小康消费标准……正如伟大的哲学家兼数学家笛卡儿所说：“对我来说，每一件事都变成数学。”数学就在我们身边，数学的美妙无处不在，当然，这需要我们去发现，去品味。
眼下正值寒假，当你依然在为写不完的作业、算不完的习题而不胜烦的时候，不妨看看这一版专门为你准备的趣味数学“作业”。想一想、做一做，看看能否有所发现，有所感悟？
A古老的数学谜语
生活在公元２００～４００年间的古希腊数学家丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ），尽管人们对他的生平知之甚少，但他对数学，特别是对不定方程的研究却很有名气。为了表彰、纪念他的贡献，有人在他的墓碑上刻下了一个数学谜语：
丢番图生命的六分之一是他的童年，再过了生命的十二分之一他长出了胡须．又过了七分之一他结了婚．五年之后他得到一个儿子．但儿子只活了他父亲所活年岁的一半，而在儿子死后四年丢番图也离开了人世．试问，丢番图共活了多少岁？
B麦比乌斯带
（动手制作）
一张纸、一块布料，都有它的正面和反面，然而你也许不会想到，有一种仅有一个面的东西存在―――麦比乌斯带。
麦比乌斯（Ｍｏｂｉｕｓ，１７９０～１８６８）是德国数学家、天文学家。１８６３年他找到一种方法，能够制造出仅有一个面的纸带，如图：
长纸带
扭转１８０■
两端粘起来制成的
麦比乌斯带
这种曲面仅有一个侧面，你用一只笔在曲面上任何一点开始沿纸带连续画下去，最后仍回到原来的位置。法国画家埃舍尔（Ｍ．Ｃ．Ｅｓｃｈｅｒ）曾用一幅有趣的图画表现麦比乌斯带：一只蚂蚁沿着麦比乌斯带爬行，永远也爬不到头。
麦比乌斯带有许多有趣的性质，比如：你沿着带子的中线（图中虚线）将它剪开后，可以得到一条扭了两圈的麦比乌斯带，长度增加了一倍；然而你若沿两边带宽三分之一处各自剪开，便得到一个扭了两圈的麦比乌斯带（宽为原来的三分之一，长增加一倍）且套上一个细麦比乌斯带（长未变化，宽为原来的三分之一）。请你自己动手制作并剪剪看，是否真的如此。如果将纸带的宽做四等分、五等分，再过等分点做三条、四条平行线，当你沿这些平行线将麦比乌斯带剪开后情形又如何？写出你的结论。请你分析一下，其中有无一般规律？顺便讲一句：麦比乌斯带在三维空间推广，便有了“克莱因瓶”，它是仅有一个面的立体，如左图。
C雪花曲线
（讨论题）
雪花多为六角星形
，俗称“雪飞六出”，这是由于水分子在结晶过程中的物理性质所致。如图：
仔细观察雪片你也许会发现：它们的形状很怪异。数学能否刻画、描绘它们？答案是肯定的。
瑞典数学家柯赫（Ｈ．ｖｏｎＫｏｃｈ）在１９０６年描述了一种雪花生成过程：
取一线段，在其中间１／３段作一个正三角形隆起：
然后每一小段（此时已有４段）上重复上述过程有：
如此下去可有：
如果此过程是从一个正三角形开始，产生的图形为：
它即是一个美丽的雪花图案。
我们的问题是：如果开始时正三角形边长为１，请计算一下上述每一步图形的周长、面积各是多少？一般情形又如何？它们的极限存在吗（若存在又是多少）？从中你又能发现什么“怪异”的结论？
顺便讲一句：由于这种图形的研究，导致了一门新的数学分支―――分形理论的诞生。如果你感兴趣,可以找些相关的参考书继续探讨。
D四色定理
（探索、动手题）
数学家早就发现，任何平面或球面上的地图，仅用四种颜色就可以把任何相邻的国家或地域分开，这就是著名的四色定理。但证明这个看上去很简单又似乎是对的问题，却经历了１００多年时间。事实上，证明四色问题并不是不可能，只是证明步骤、程序很复杂，一个人用一辈子也计算不完。不过电子计算机已经替人完成了这件事。
１９７５年４月１日，美国著名数学专栏作家马丁．加德纳在《科学美国人》杂志上刊登了一张特别的图画，他宣称这张图是对历史悠久的四色问题的一个反例。当然，这只是愚人节的一个玩笑，四色定理肯定适用于这张图，不过确实很难。聪明的同学们，不妨试一试。注意，要寻找规律。
E省刻度尺
（研究题）
数学常与“最优”概念联在一起，因而“最节省”、“最有效”、……成了数学的一个重要课题。英国数学游戏大师杜登尼（Ｈ．Ｅ．Ｄｕｄｅｎｅｙ，１８５７～１９３０）曾给出这样一个问题：
一根２２ｃｍ长的尺子，要求能够度量出１～２２任何整数厘米长的物品，至少要几个刻度？杜登尼给出的答案是：只须６个刻度。这种尺被称作“省刻度尺”，如下图：
其实这个答案不是惟一的，还有另一种解答也是６个刻度：
至于它的量法，我们用ａ→ｂ表示自ａ量到ｂ，比如３→８表示可量得５，８→１８表示可量得１０，等等。同时我们也称能量得１～２２整数厘米刻度的度量为“完整度量”。请你按照要求给出下面３个能够完整度量的省刻度尺：
⑴１３ｃｍ４个刻度
⑵３６ｃｍ８个刻度
⑶４０ｃｍ９个刻度
考虑一下你给出的这些结果（刻度数）还能否改进？再请你讨论：
⑴ｎｃｍ长的尺子至少要有多少个刻度才能完成１～ｎｃｍ的完整度量？
⑵有ｋ个刻度的尺子至多能在多大的ｎ范围内完成１～ｎｃｍ的完整度量？
此外，省刻度尺问题还与图形完美标号问题有关。所谓完美标号是指将０～ｋ这ｋ＋１个数字中的某些数填在一些图形的结点处，再将相邻两结点的差的绝对值记在连接两结点的线段上，若这些差的绝对值恰好为１～ｋ，则称该图是完美的，且称标号为完美标号。比如右图便是一个完美标号图。
１９７８年胡迪（Ｃ．Ｈｏｄｅｅ）和库珀尔（Ｈ．Ｋｕｉｐｅｒ）曾证明：所有星轮状的图形皆存
在完美标号。比如下面三个图：
若将“刻度”视为“标号”，“度量”看作“标号之差的绝对值”，则省刻度尺可与完美标号问题“对应”起来（数学上叫同构），比如前面的省刻度尺问题(１)，即：１３ｃｍ尺子４个刻度（注意刻度０与１３虽未标出，但它却是客观存在的），可与右图对应：
如此一来，这两个问题只须研究其一，便可在另一问题中得出同样的结果。如果你有兴趣，不妨将另外两个省刻度尺对应的完美标图也画出来。千万不要只把这看作一种游戏，目前，省刻度尺（库珀尔尺)问题在物理、电子等领域已找到广泛的应用。
趣味作业参考资料：
《数学中的美》吴振奎吴著上海教育出版社出版
《名人、趣题、妙解》吴振奎吴著天津教育出版社出版
以上书籍天津图书大厦均有售
哲理是抽象的，但用数学知识来做比喻，却能使哲理变得生动感人，发人深思。就让我们用伟人的奇妙的比喻作为本版的结束语：
成功的秘诀是：Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝Ａ．
Ｘ代表艰苦的劳动，Ｙ代表正确的方法，Ｚ代表少说空话。―――爱因斯坦
人好比一个圆圈，大圆圈比小圆圈掌握的知识当然多一点。因为大圆圈比小圆圈的圆周长，所以与外界空间的接触面积比小圆圈大。―――古希腊哲学家芝诺
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